Le conducteur parfait, un modèle : jusqu'où ?

La stratégie. Un modèle se juge en comparant des longueurs : l'épaisseur de peau d'un côté ; la longueur d'onde, l'épaisseur et la taille de l'objet de l'autre. Puis on fait tendre $\gamma$ vers l'infini à courant surfacique fixé, pour voir naître les conditions aux limites du cours.

1) Trois longueurs, quatre fréquences. À $1\mathrm{GHz}$, $\omega =2\pi \times 10^9=6,28\times 10^9\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $$\delta =\sqrt{\frac{2}{4\pi \times 10^{-7}\times 6,0\times 10^7\times 6,28\times 10^9}}\approx 2,05\times 10^{-6}\mathrm{m}=2,05\mu \mathrm{m}.$$ Comme $\delta \propto 1/\sqrt{f}$ et $\lambda =c/f\propto 1/f$ :

L'onde s'éteint dans le métal sur une distance toujours infime devant sa longueur d'onde. La condition de validité de $\delta$ : $\gamma /{\epsilon }_0=6,0\times 10^7/8,85\times 10^{-12}\approx 6,8\times 10^{18}{\mathrm{s}}^{-1}$, contre $\omega =6,3\times 10^{10}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ au plus : le courant de conduction l'emporte d'un facteur $10^8$ sur le courant de déplacement, même à $10\mathrm{GHz}$.

2) La comparaison qui tranche : $\delta$ et l'épaisseur. a) $d/\delta =2\times 10^{-3}/0,65\times 10^{-6}\approx 3\times 10^3$ : le facteur ${\mathrm{e}}^{-3000}$ est nul à toute précision. Comme de plus $\delta \ll \lambda =3\mathrm{cm}$ et $\delta \ll$ la taille de la cavité, le modèle est excellent. b) À $50\mathrm{Hz}$, $\delta =9,2\mathrm{mm}>d$ : $d/\delta \approx 0,22$ et ${\mathrm{e}}^{-0,22}\approx 0,80$. La plaque laisse passer l'essentiel du champ : elle n'est pas un écran, et le modèle est absurde, bien que $\delta \ll \lambda$. c) À $1\mathrm{GHz}$, $d/\delta \approx 49$, facteur ${\mathrm{e}}^{-49}\approx 7\times 10^{-22}$ : écran parfait. À $1\mathrm{MHz}$, $d/\delta \approx 1,5$, facteur $\approx 0,21$ : un cinquième du champ passe. Le même objet est un conducteur parfait ou non selon la fréquence. Le modèle exige $\delta$ petit devant toutes les longueurs du problème : longueur d'onde, épaisseur du métal, taille de l'objet. En hyperfréquences, domaine des cavités de ce chapitre, c'est acquis avec des marges énormes.

3) De la pellicule à la nappe. Le courant surfacique $j_s$ est un courant par unité de largeur (en $\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}$). Réparti sur une épaisseur $\delta$, il correspond à une densité volumique $j\sim j_s/\delta$, et la loi d'Ohm locale demande, le long de la surface, le champ $$E_{\parallel }=\frac{j}{\gamma }\sim \frac{j_s}{\gamma \delta }.$$ Numériquement, $j_s=\frac{2\times 100}{4\pi \times 10^{-7}\times 3,00\times 10^8}\approx 0,53\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}$, $\gamma \delta =6,0\times 10^7\times 0,65\times 10^{-6}\approx 39\mathrm{S}$, d'où $E_{\parallel }\sim 0,53/39\approx 1,4\times 10^{-2}\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$, soit $1,4\times 10^{-4}{E}_0$. (Le calcul exact, hors programme, donne $1,9\times 10^{-2}\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ : même ordre.) Devant les $2E_0=200\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ qui règnent à un quart de longueur d'onde, ce champ tangentiel est nul en pratique. Limite $\gamma \to \infty$. Le courant $j_s$ est imposé par le champ extérieur ($j_s=2E_0/{\mu }_{0}c$ ne dépend pas de $\gamma$). Or $\gamma \delta =\sqrt{2\gamma /({\mu }_0\omega )}\to \infty$ : donc $E_{\parallel }\to 0$. En même temps $\delta \to 0$ et $j=j_s/\delta \to \infty$, tandis que le produit $j\delta =j_s$ reste fini. Un courant volumique infini dans une couche d'épaisseur nulle : c'est la nappe de courant surfacique du cours. Les conditions ${\overrightarrow{E}}_{\parallel }=\overrightarrow{0}$ et ${\overrightarrow{B}}_{\parallel }={\mu }_0{\overrightarrow{ȷ}}_s\wedge \overrightarrow{n}$ ne sont donc pas des postulats arbitraires : ce sont les limites de ce qui se passe dans la peau d'un vrai métal.

4) Les quatre cartes. Le champ étant nul dans le métal, les relations de passage donnent, côté vide : ${\overrightarrow{E}}_{\parallel }=\overrightarrow{0}$ et ${\overrightarrow{B}}_{\perp }=\overrightarrow{0}$. (a) $\overrightarrow{E}$ normal à la surface : possible ; la relation sur $\overrightarrow{E}$ donne seulement $\sigma ={\epsilon }_0{E}_{\perp }\ne 0$, des charges de surface. (b) $\overrightarrow{E}$ tangent et non nul au contact : impossible, la composante tangentielle de $\overrightarrow{E}$ est continue et nulle dans le métal. Attention : le champ du cours est bien dirigé selon ${\overrightarrow{e}}_y$, parallèlement à la surface, mais il s'annule sur elle (nœud) : des lignes tangentes dont l'intensité tend vers zéro au contact sont permises, un champ tangent uniforme qui touche le métal ne l'est pas. (c) $\overrightarrow{B}$ tangent : possible ; la relation sur $\overrightarrow{B}$ donne le courant ${\overrightarrow{ȷ}}_s=\frac{1}{{\mu }_0}\overrightarrow{n}\wedge \overrightarrow{B}$, porté par la surface et perpendiculaire aux lignes de $\overrightarrow{B}$. (d) $\overrightarrow{B}$ oblique, qui entre dans le métal : impossible, la composante normale de $\overrightarrow{B}$ est continue et nulle dans le métal. Les cartes (b) et (c) ont le même dessin et des verdicts opposés : la règle est « $\overrightarrow{E}$ normal, $\overrightarrow{B}$ tangent ».

Ce que l'exercice installe. Un modèle se valide en comparant des longueurs : le conducteur parfait exige $\delta$ petit devant la longueur d'onde, l'épaisseur et la taille de l'objet, ce qui est acquis en hyperfréquences, et faux pour un écran mince à basse fréquence. La limite $\gamma \to \infty$ à $j_s$ fixé fabrique les conditions aux limites : le champ tangentiel $j_s/\gamma \delta$ s'annule, la pellicule devient une nappe. Et le réflexe de lecture : $\overrightarrow{E}$ normal, $\overrightarrow{B}$ tangent.