Dipôle induit : les trois régimes — exercice corrigé d'ondes électromagnétiques (MP) (chapitre 4)

Dipôle induit : les trois régimes

Rayonnement du dipôle oscillant ; diffusion Rayleigh · niveau 2

Énoncé

Dans le modèle de l'électron élastiquement lié (masse $m$ , charge $- e$ , pulsation propre $ω_{0}$ ), éclairé par $E = E_{0} cos (ω t) e_{z}$ , établir l'amplitude $p_{0}$ du moment dipolaire induit en régime forcé, tracer $∣ p_{0} ∣$ en fonction de $ω$ et identifier les trois régimes. Dans lequel la puissance diffusée est-elle proportionnelle à $ω^{4}$ ?

Corrigé

En régime forcé, $z = z_{0} cos ω t$ et $m z ¨ = - m ω_{0}^{2} z - e E_{0} cos ω t$ donnent $- m ω^{2} z_{0} = - m ω_{0}^{2} z_{0} - e E_{0}$ , soit $z_{0} = \frac{- e E _{0} / m}{ω _{0}^{2} - ω ^{2}}$ et

$p_{0} = - e z_{0} = \frac{e ^{2} E _{0}}{m ( ω _{0}^{2} - ω ^{2} )} .$

Pour $ω ≪ ω_{0}$ (régime de Rayleigh), $p_{0} ≃ e^{2} E_{0} / (m ω_{0}^{2})$ ne dépend pas de $ω$ , et la formule de Larmor donne $⟨ P_{diff} ⟩ \propto ω^{4}$ . Pour $ω ≃ ω_{0}$ (résonance), $∣ p_{0} ∣$ devient très grand ; l'amortissement, négligé ici, le borne : c'est l'absorption. Pour $ω ≫ ω_{0}$ (électron quasi libre), $p_{0} ≃ - e^{2} E_{0} / (m ω^{2})$ , en opposition de phase avec le champ. Pour les molécules de l'air, $ω_{0}$ est dans l'ultraviolet : le visible est dans le régime de Rayleigh.