L'antenne courte et sa résistance de rayonnement

La stratégie. On relie le moment dipolaire au courant d'alimentation par la conservation de la charge ; la formule de Larmor donne alors une puissance proportionnelle à $I_0^2$, qu'on lit comme la puissance dissipée dans une résistance. On en tire le dimensionnement d'une antenne et la limite du modèle.

1) Le moment dipolaire. Le courant uniforme ne laisse s'accumuler aucune charge le long du brin ; il apporte la charge à l'extrémité haute et la retire de l'extrémité basse : par conservation de la charge, $\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=i$. Les charges $\pm q$ sont distantes de $\ell$, donc $p=q\ell$ et $$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\ell i=\ell I_0\cos \omega t,p(t)=\frac{\ell I_0}{\omega }\sin \omega t,p_0=\frac{\ell I_0}{\omega }.$$

2) La résistance de rayonnement. Par la formule de Larmor, avec $\omega =2\pi c/\lambda$ : $$⟨P⟩=\frac{{\mu }_0{p}_0^2{\omega }^4}{12\pi c}=\frac{{\mu }_0{\ell }^2{I}_0^2{\omega }^2}{12\pi c}=\frac{{\mu }_0{\ell }^2{I}_0^2}{12\pi c}\times \frac{4{\pi }^2{c}^2}{{\lambda }^2}=\frac{\pi }{3}{\mu }_{0}c{\left(\frac{\ell }{\lambda }\right)}^2{I}_0^2=\frac{1}{2}{R}_{\text{ray}}{I}_0^2,$$ avec $R_{\text{ray}}=\frac{2\pi }{3}{\mu }_{0}c{\left(\frac{\ell }{\lambda }\right)}^2$. Numériquement, $\frac{2\pi }{3}\times 377\Omega \approx 789\Omega$ : $R_{\text{ray}}\approx 789\Omega \times (\ell /\lambda {)}^2$. Homogénéité : ${\mu }_{0}c$ est une résistance, l'impédance du vide, $377\Omega$. Pour le générateur, l'antenne se comporte comme une résistance : il lui fournit la puissance moyenne $\frac{1}{2}{R}_{\text{ray}}{I}_0^2$, comme à un conducteur ohmique ; mais cette puissance ne chauffe rien, elle part à l'infini sous forme de rayonnement. C'est la grandeur que mesure un ingénieur d'antenne.

3) Les ondes moyennes. $\lambda =300\mathrm{m}$, $\ell /\lambda =0,050$, $R_{\text{ray}}=789\times 2,5\times 10^{-3}\approx 1,97\Omega$. Pour $1\mathrm{kW}$ : $$I_0=\sqrt{\frac{2⟨P⟩}{R_{\text{ray}}}}=\sqrt{\frac{2000}{1,97}}\approx 32\mathrm{A}.$$ Le même courant traverse la résistance de pertes, qui dissipe $\frac{1}{2}{R}_p{I}_0^2$. Le rendement vaut $$\eta =\frac{R_{\text{ray}}}{R_{\text{ray}}+R_p}=\frac{1,97}{3,97}\approx 0,50:$$ la moitié de la puissance chauffe les conducteurs. Comme $R_{\text{ray}}\propto {\ell }^2$, une antenne courte rayonne mal : forts courants, pertes Joule. D'où les pylônes d'un quart de longueur d'onde ($75\mathrm{m}$, exercice 1).

4) Le téléphone. $\lambda =33,3\mathrm{cm}$, $\ell /\lambda =0,090$, $R_{\text{ray}}=789\times 8,1\times 10^{-3}\approx 6,4\Omega$. Les fréquences élevées permettent des antennes de quelques centimètres : c'est le rapport $\ell /\lambda$ qui compte, pas $\ell$.

5) Ce que le modèle ne dit pas. Pour $\ell =\lambda /2$, la formule donne $789/4\approx 197\Omega$, près de trois fois la valeur mesurée, $73\Omega$. Deux hypothèses tombent. Le courant n'est plus uniforme : il s'annule aux extrémités. Le moment dipolaire n'est sensible qu'à $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\int i\mathrm{d}z$, qui vaut $${\int }_{-\lambda /4}^{\lambda /4}{I}_0\cos (kz)\mathrm{d}z=\frac{2I_0}{k}=\frac{\lambda }{\pi }{I}_0$$ au lieu de $\frac{\lambda }{2}{I}_0$ : tout se passe comme si la longueur était multipliée par $2/\pi$, et $R_{\text{ray}}$ par $(2/\pi {)}^2$, soit $197\times 0,405\approx 80\Omega$. L'approximation dipolaire tombe : les parties de l'antenne sont vues avec des retards d'un quart de période (exercice 1) ; le calcul exact, hors programme, donne $73\Omega$. L'antenne demi-onde rayonne comme un dipôle, mais ne relève du modèle que qualitativement.

6) Le champ à dix kilomètres. $p_0=\frac{\ell I_0}{\omega }=\frac{15\times 31,8}{2\pi \times 10^6}\approx 7,6\times 10^{-5}\mathrm{C}\mathrm{m}$. Dans le plan équatorial ($\sin \theta =1$) : $$E_0=\frac{{\mu }_0{p}_0{\omega }^2}{4\pi r}=10^{-7}\times \frac{7,6\times 10^{-5}\times (2\pi \times 10^6{)}^2}{10^4}\approx 3,0\times 10^{-2}\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}.$$ On retrouve les $30\mathrm{mV}{\mathrm{m}}^{-1}$ de l'exercice 3, obtenus par la directivité $3/2$, qui ne dépend ni de $\ell$ ni de $\omega$ : même puissance rayonnée, même champ lointain.

Ce que l'exercice installe. La résistance de rayonnement traduit le bilan énergétique du côté du circuit : la puissance rayonnée est $\frac{1}{2}{R}_{\text{ray}}{I}_0^2$, avec $R_{\text{ray}}\approx 789\Omega (\ell /\lambda {)}^2$. Elle explique la taille des antennes (une antenne courte rayonne mal et perd tout en effet Joule) et marque la limite du modèle : à $\ell =\lambda /2$, le dipôle n'est plus qu'un guide qualitatif.