La structure du champ rayonné sans calcul

La stratégie. Chaque argument du programme fixe un morceau de l'expression : la symétrie, la direction ; la transversalité, jointe à la linéarité, la dépendance en $\theta$ ; l'énergie et l'analyse dimensionnelle, la dépendance en $r$ et la constante. Il ne restera qu'un facteur numérique, que seul le calcul complet donne.

1) Symétries. Un plan $\Pi$ contenant $Oz$ contient les charges et le courant, portés par l'axe : c'est un plan de symétrie de la source. En un point d'un plan de symétrie, $\overrightarrow{E}$, vecteur polaire, appartient au plan, et $\overrightarrow{B}$, vecteur axial, lui est orthogonal. Pour le plan méridien de $M$ : $\overrightarrow{E}(M)$ est dans le plan $({\overrightarrow{e}}_r,{\overrightarrow{e}}_{\theta })$, $\overrightarrow{B}(M)$ est porté par ${\overrightarrow{e}}_{\phi }$ ; l'invariance par rotation autour de $Oz$ ajoute que rien ne dépend de $\phi$.

Sur l'axe, $M$ appartient à tous les plans méridiens, donc $\overrightarrow{E}(M)$ appartient à leur intersection, l'axe $Oz$ : $\overrightarrow{E}\parallel {\overrightarrow{e}}_z=\pm {\overrightarrow{e}}_r$. Or le champ rayonné est transverse : $\overrightarrow{E}\cdot {\overrightarrow{e}}_r=0$. Donc $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$ sur l'axe. La symétrie, jointe à la transversalité, donne le zéro dans l'axe ; elle ne donne pas la loi en $\theta$ : $\sin \theta$, mais aussi ${\sin }^2\theta$ ou $\sin \theta {\cos }^2\theta$, s'annulent dans l'axe. Il faut un argument de plus.

2) Le champ est la projection transverse de l'accélération. Avec $\overrightarrow{E}=\alpha \ddot{\overrightarrow{p}}+\beta (\ddot{\overrightarrow{p}}\cdot {\overrightarrow{e}}_r){\overrightarrow{e}}_r$, $$\overrightarrow{E}\cdot {\overrightarrow{e}}_r=(\alpha +\beta )(\ddot{\overrightarrow{p}}\cdot {\overrightarrow{e}}_r)=0$$ pour toute orientation de $\ddot{\overrightarrow{p}}$ par rapport à ${\overrightarrow{e}}_r$, donc $\beta =-\alpha$ et $$\overrightarrow{E}=\alpha \left[\ddot{\overrightarrow{p}}-(\ddot{\overrightarrow{p}}\cdot {\overrightarrow{e}}_r){\overrightarrow{e}}_r\right]=\alpha {\ddot{\overrightarrow{p}}}_{\perp }.$$ Pour $\ddot{\overrightarrow{p}}=\ddot{p}{\overrightarrow{e}}_z$, avec ${\overrightarrow{e}}_z=\cos \theta {\overrightarrow{e}}_r-\sin \theta {\overrightarrow{e}}_{\theta }$ : $${\ddot{\overrightarrow{p}}}_{\perp }=\ddot{p}({\overrightarrow{e}}_z-\cos \theta {\overrightarrow{e}}_r)=-\ddot{p}\sin \theta {\overrightarrow{e}}_{\theta }.$$ Le facteur $\sin \theta$ est la longueur de la projection : l'observateur ne « voit » que la composante de l'accélération perpendiculaire à sa ligne de visée. Dans le plan équatorial, il voit toute l'oscillation ; dans l'axe, il voit les charges venir vers lui et s'en éloigner, sans mouvement apparent transverse : aucun champ. On retrouve au passage $\overrightarrow{E}\parallel {\overrightarrow{e}}_{\theta }$, conforme à la question 1, et le facteur ${\omega }^2$, puisque $\ddot{p}=-p_0{\omega }^2\cos \omega t$.

3) Le facteur ${\mu }_0/r$. Énergie. Dans la zone de rayonnement, $\overrightarrow{\Pi }=\frac{E^2}{{\mu }_{0}c}{\overrightarrow{e}}_r\propto {\alpha }^2$. Le flux moyen à travers une sphère de rayon $r$ est proportionnel à ${\alpha }^2{r}^2$ ; en régime établi, sans absorption dans le vide, il ne dépend pas de $r$. Donc $\alpha \propto 1/r$. Analyse dimensionnelle. $\ddot{p}$ s'exprime en $\mathrm{A}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et ${\mu }_0$ en $\mathrm{T}\mathrm{m}{\mathrm{A}}^{-1}$, donc ${\mu }_0\ddot{p}/r$ en $\mathrm{T}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, c'est-à-dire en $\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ puisque $E=cB$. Avec $\alpha ={\mu }_0{c}^x{r}^y$, il faut que $c^x{r}^{y+1}$ soit sans dimension : $x=0$ (seul $c$ contient des secondes) et $y=-1$. Les deux arguments s'accordent : $\alpha =K{\mu }_0/r$, avec $K$ sans dimension.

Identification. Avec $\ddot{p}(t-r/c)=-p_0{\omega }^2\cos (\omega (t-r/c))$ : $$\overrightarrow{E}=\frac{K{\mu }_0}{r}{\ddot{\overrightarrow{p}}}_{\perp }=-\frac{K{\mu }_0}{r}\ddot{p}\sin \theta {\overrightarrow{e}}_{\theta }=\frac{K{\mu }_0{p}_0{\omega }^2}{r}\sin \theta \cos \left(\omega \left(t-\frac{r}{c}\right)\right){\overrightarrow{e}}_{\theta }.$$ La comparaison avec l'expression fournie donne $K=-\frac{1}{4\pi }$, d'où la forme projetée du champ rayonné, qui servira au problème : $$\overrightarrow{E}(M,t)=-\frac{{\mu }_0}{4\pi r}{\ddot{\overrightarrow{p}}}_{\perp }\left(t-\frac{r}{c}\right).$$ Le signe dit que le champ rayonné est opposé à l'accélération apparente : une charge positive accélérée vers le haut envoie dans le plan équatorial un champ dirigé vers le bas. Le facteur $1/4\pi$, lui, exige le calcul complet, hors programme.

4) La zone de rayonnement, chiffrée. $$\frac{E_{\text{ray}}}{E_{\text{stat}}}=\frac{{\mu }_0{p}_0{\omega }^2}{4\pi r}\times \frac{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}{p_0}={\mu }_0{\epsilon }_0{\omega }^2{r}^2={\left(\frac{\omega r}{c}\right)}^2=(kr{)}^2.$$ Le champ quasi statique décroît en $1/r^3$, le champ rayonné en $1/r$ : ils sont égaux pour $kr=1$, soit $r=\lambda /2\pi$. La zone de rayonnement est $r\gg \lambda /2\pi$ ; c'est ce que la condition $r\gg \lambda$ veut dire. Borne Wi-Fi ($\lambda /2\pi =1,95\mathrm{cm}$) : à $5\mathrm{m}$, $(kr{)}^2=6,6\times 10^4$, le champ rayonné domine de loin ; à $1\mathrm{cm}$, $(kr{)}^2=0,26$, le champ quasi statique domine. Ligne ($\lambda /2\pi =954\mathrm{km}$) : à $30\mathrm{m}$, $(kr{)}^2=1\times 10^{-9}$, le champ rayonné est un milliard de fois plus faible.

5) Le champ magnétique. Avec ${\overrightarrow{e}}_r\wedge {\overrightarrow{e}}_{\theta }={\overrightarrow{e}}_{\phi }$ : $$\overrightarrow{B}=\frac{{\overrightarrow{e}}_r\wedge \overrightarrow{E}}{c}=-\frac{{\mu }_0{p}_0{\omega }^2}{4\pi rc}\sin \theta \cos \left(\omega \left(t-\frac{r}{c}\right)\right){\overrightarrow{e}}_{\phi },$$ porté par ${\overrightarrow{e}}_{\phi }$, orthogonal au plan méridien, comme l'imposait la symétrie. Pour $E=30\mathrm{mV}{\mathrm{m}}^{-1}$, $B=E/c=1,0\times 10^{-10}\mathrm{T}$ : cinq cent mille fois moins que le champ terrestre, mais il oscille, et une antenne cadre détecte sa variation par induction.

Ce que l'exercice installe. Le champ rayonné est la projection transverse de l'accélération du dipôle, changée de signe, multipliée par ${\mu }_0/4\pi r$ et prise à l'instant retardé : $\overrightarrow{E}=-\frac{{\mu }_0}{4\pi r}{\ddot{\overrightarrow{p}}}_{\perp }(t-r/c)$. La symétrie en fixe la direction et le zéro dans l'axe, la transversalité le $\sin \theta$, l'énergie et l'analyse dimensionnelle le ${\mu }_0/r$. Et la zone de rayonnement se chiffre : $r\gg \lambda /2\pi$.