Trois longueurs, cinq sources : quand le modèle du dipôle s'applique-t-il ?

La stratégie. On calcule $\lambda =c/f$, puis les deux rapports $a/\lambda$ et $r/\lambda$. Chaque inégalité a un sens physique précis : la première est une condition de retard à l'intérieur de la source, la seconde une condition de géométrie au point d'observation. Elles sont indépendantes : l'une porte sur la source, l'autre sur l'observateur.

1) Les longueurs d'onde. Avec $\lambda =c/f$ :

Treize ordres de grandeur séparent la ligne de l'atome : le même modèle couvre tout le spectre, à condition de comparer les longueurs à $\lambda$.

2) $a\ll \lambda$ : une condition de retard. $\frac{a}{\lambda }=\frac{a}{cT}=\frac{a/c}{T}=\frac{{\tau }_a}{T}$. Le champ reçu en $M$ à l'instant $t$ a été émis par chaque charge, de position $P$, à l'instant retardé $t-PM/c$ ; les distances $PM$ diffèrent d'au plus $a$ environ, donc les instants d'émission d'au plus ${\tau }_a$. Si ${\tau }_a\ll T$, toutes les charges sont vues dans la même phase, et leurs contributions s'ajoutent comme celles d'un seul moment dipolaire $\overrightarrow{p}(t-r/c)$ placé en $O$. Numériquement :

• atome : $a/\lambda =1,7\times 10^{-4}$ (${\tau }_a=3\times 10^{-19}\mathrm{s}$ pour $T=2\times 10^{-15}\mathrm{s}$) : parfait ;
• émetteur AM : $a/\lambda =1/4$ : le signal met un quart de période à parcourir le pylône : approximation seulement qualitative ;
• borne Wi-Fi : $a/\lambda =0,25$ : même verdict ;
• téléphone : $a/\lambda =0,09$ : acceptable ;
• ligne : $a/\lambda =1,7\times 10^{-2}$ : satisfaite.

Les antennes réelles mesurent un quart ou une moitié de longueur d'onde, justement pour bien rayonner (exercice 4).

3) $r\gg \lambda$ : une condition de géométrie. $r/\lambda$ vaut $1,7\times 10^6$ (atome), $33$ (auditeur AM), $41$ (ordinateur), $0,06$ (tête) et $3000$ (relais), $5\times 10^{-6}$ (maison). Atome, auditeur, ordinateur et relais sont dans la zone de rayonnement : sur quelques longueurs d'onde autour de $M$, les surfaces d'onde, sphères de rayon $r$, sont pratiquement planes et l'amplitude, en $1/r$, varie peu ; l'onde est localement plane, avec $\overrightarrow{E}\perp \overrightarrow{B}\perp {\overrightarrow{e}}_r$ et $\Vert \overrightarrow{E}\Vert =c\Vert \overrightarrow{B}\Vert$. L'exercice 2 précise le critère : $r\gg \lambda /2\pi$.

4) Hors de la zone de rayonnement. La tête est à $2\mathrm{cm}$, moins que $\lambda /2\pi =5,3\mathrm{cm}$ : elle est dans la zone proche, où dominent des champs quasi statiques en $1/r^3$, absents des expressions admises (exercice 2) : ni le champ en $\sin \theta /r$ ni la relation de structure n'y valent. La maison : le temps de propagation $r/c=0,1\mu \mathrm{s}$ est négligeable devant la période de $20\mathrm{ms}$, c'est l'approximation des régimes quasi stationnaires : à chaque instant, le champ électrique est celui des charges de la ligne, le champ magnétique celui de ses courants. Le terme rayonné y est un milliard de fois plus faible (exercice 2) : la ligne ne « rayonne » pas vers la maison.

5) Bilan. Atome : $a\ll \lambda \ll r$, le modèle est excellent. Émetteur AM, borne Wi-Fi : observateur en zone de rayonnement, mais source non petite devant $\lambda$ : le modèle donne la structure de l'onde et l'allure de l'indicatrice, pas les valeurs exactes. Téléphone : bon modèle pour le relais, inutilisable pour la tête. Ligne : source petite devant $\lambda$, mais observateur en régime quasi statique. Les deux conditions sont bien indépendantes : l'émetteur AM viole la première et respecte la seconde, la ligne fait l'inverse.

Ce que l'exercice installe. Trois longueurs, deux comparaisons, chacune avec son sens : $a\ll \lambda$ équivaut à un retard négligeable à l'intérieur de la source ($a/c\ll T$), qui permet de la réduire à un dipôle ponctuel ; $r\gg \lambda$ est la zone de rayonnement, où l'onde est localement plane. Et un ordre de grandeur : à $50\mathrm{Hz}$ on est toujours dans l'ARQS, en optique toujours dans la zone de rayonnement.