optique géométrique (MP2I) · Chapitre 5 · Exercice de TD

La lunette afocale : construction et grossissement

Instruments : l'œil, la lunette astronomique et la fibre optique · B. La lunette astronomique · niveau 2

Énoncé

Une lunette astronomique est modélisée par deux lentilles minces convergentes de même axe optique : l'objectif $L_{1}$ , de distance focale $f_{1}^{'} = 1, 00 m$ , et l'oculaire $L_{2}$ , de distance focale $f_{2}^{'} = 25 mm$ . Un œil normal l'utilise sans accommoder. Les angles $α$ et $α^{'}$ sont orientés dans le sens trigonométrique, de l'axe vers le rayon.

1) Justifier que l'observation d'un astre sans accommodation impose de confondre le foyer image $F_{1}^{'}$ de l'objectif et le foyer objet $F_{2}$ de l'oculaire. En déduire la longueur $O_{1} O_{2}$ de la lunette.

2) Un point $B$ de l'astre, « à l'infini », envoie sur l'objectif un faisceau parallèle qui fait l'angle $α$ avec l'axe. Construire la marche de ce faisceau à travers la lunette : position de l'image intermédiaire $B_{1}$ , direction du faisceau émergent.

3) Le grossissement est $G = α^{'} / α$ , où $α^{'}$ est l'angle que fait le faisceau émergent avec l'axe. Établir $G = - f_{1}^{'} / f_{2}^{'}$ dans l'approximation de Gauss, et le calculer. Que signifie son signe ?

4) La Lune a un diamètre apparent de $0, 5 2^{\circ}$ . Sous quel angle la voit-on dans la lunette ? Quel est le diamètre de son image intermédiaire ?

5) Pourquoi l'objectif d'une lunette a-t-il une grande distance focale, et l'oculaire une petite ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les propriétés des foyers d'une lentille mince : un faisceau parallèle converge en un point de son plan focal image, et un point de son plan focal objet donne un faisceau parallèle. Le rayon qui passe par le centre optique n'est pas dévié. Les petits angles : $tan α \approx α$ en radians.

1) Le réglage afocal. Un œil normal voit net sans accommoder un objet à l'infini : le faisceau qui sort de la lunette doit être parallèle, c'est-à-dire que l'image finale est à l'infini. L'objectif donne de l'astre une image dans son plan focal image. Pour que l'oculaire renvoie cette image à l'infini, elle doit être dans son plan focal objet : $F_{1}^{'} = F_{2}$ . La lunette est alors un système afocal : l'image d'un objet à l'infini est à l'infini. Sa longueur vaut $O_{1} O_{2} = f_{1}^{'} + f_{2}^{'} = 1, 000 + 0, 025 = 1, 025 m .$

2) La construction. Le rayon du faisceau qui passe par $O_{1}$ n'est pas dévié : il coupe le plan focal image de l'objectif en $B_{1}$ . Tous les rayons du faisceau convergent en ce foyer image secondaire ; $B_{1}$ est sous l'axe si $B$ est au-dessus. $B_{1}$ appartient au plan focal objet de l'oculaire : les rayons qui en partent ressortent de l'oculaire parallèles entre eux, et parallèles au rayon $B_{1} O_{2}$ , qui traverse l'oculaire sans être dévié. Le faisceau émergent a donc la direction de la droite $B_{1} O_{2}$ .

3) Le grossissement. Le rayon non dévié en $O_{1}$ parcourt $f_{1}^{'}$ le long de l'axe jusqu'au plan focal : la position de $B_{1}$ vaut $F_{1}^{'} B_{1} = f_{1}^{'} tan α \approx f_{1}^{'} α .$ Le faisceau émergent est parallèle à $B_{1} O_{2}$ , qui monte de $- F_{1}^{'} B_{1}$ sur la distance $f_{2}^{'}$ : $α^{'} \approx \frac{- F _{1}^{'} B _{1}}{f _{2}^{'}} = - \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}} α, G = \frac{α ^{'}}{α} = - \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}} = - \frac{1000}{25} = - 40.$ Le signe négatif : $α^{'}$ et $α$ sont de signes contraires, l'image est renversée. Pour un astre, cela n'a aucune importance.

4) La Lune. $α = 0, 5 2^{\circ} = 9, 1 \times 1 0^{- 3} rad$ , donc $∣ α^{'} ∣ = 40 \times 9, 1 \times 1 0^{- 3} = 0, 36 rad \approx 2 1^{\circ} .$ À cet angle, $tan α^{'} = 0, 38$ diffère de $α^{'}$ d'environ cinq pour cent : l'approximation de Gauss atteint sa limite, et le résultat est un ordre de grandeur. L'image intermédiaire a pour diamètre $f_{1}^{'} α = 1, 00 \times 9, 1 \times 1 0^{- 3} = 9, 1 \times 1 0^{- 3} m \approx 9 mm .$

5) Le choix des focales. $∣ G ∣ = f_{1}^{'} / f_{2}^{'}$ est grand si l'objectif a une grande focale et l'oculaire une petite. La longueur de la lunette, $f_{1}^{'} + f_{2}^{'} \approx f_{1}^{'}$ , limite la focale de l'objectif : c'est le compromis de tous les instruments, entre grossissement et encombrement.

Ce que l'exercice installe. La lunette afocale se lit avec deux rayons : le rayon non dévié par l'objectif place l'image intermédiaire dans le plan focal commun, le rayon non dévié par l'oculaire donne la direction du faisceau émergent. Il en sort $G = - f_{1}^{'} / f_{2}^{'}$ , à savoir établir et non seulement réciter.

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