Une lunette du commerce : choisir son oculaire

Ce qu'on a le droit d'utiliser. $\left|G\right|=f_1^{\prime }/f_2^{\prime }$ (exercice précédent), la relation de conjugaison et de grandissement de Newton, et les deux limites angulaires données : celle de l'œil et celle, admise, de la diffraction par l'objectif.

1) Grossissements et longueurs. $$\left|G\right|=\frac{700}{25}=28,\frac{700}{10}=70,\frac{700}{4}=175.$$ Les longueurs $f_1^{\prime }+f_2^{\prime }$ valent $725$, $710$ et $704\mathrm{mm}$ : changer d'oculaire déplace à peine l'oculaire, l'encombrement est fixé par l'objectif.

2) Le grossissement résolvant. $${\epsilon }_{\text{obj}}=\frac{550\times 10^{-9}}{70\times 10^{-3}}=7,9\times 10^{-6}\mathrm{rad},$$ soit $1,6$ seconde d'arc. Deux détails séparés de ${\epsilon }_{\text{obj}}$ sont vus dans la lunette sous l'angle $\left|G\right|{\epsilon }_{\text{obj}}$ ; l'œil les sépare si cet angle dépasse ${\epsilon }_{\text{œil}}$ : $$\left|G\right|\ge \frac{{\epsilon }_{\text{œil}}}{{\epsilon }_{\text{obj}}}=\frac{3\times 10^{-4}}{7,9\times 10^{-6}}\approx 38.$$ Avec l'oculaire de $25\mathrm{mm}$ ($\left|G\right|=28$), l'œil ne perçoit pas tous les détails que l'objectif sépare. Ceux de $10\mathrm{mm}$ et de $4\mathrm{mm}$ le permettent.

3) Au-delà du grossissement utile. Dès $\left|G\right|\approx 38$, tout détail séparé par l'objectif est perceptible. Grossir davantage étale la même image sans y ajouter de détail. Un grossissement de deux à quatre fois le grossissement résolvant rend l'observation confortable, d'où les $140$ annoncés. Avec l'oculaire de $4\mathrm{mm}$ ($175$) on ne gagne rien en détails ; on perd en luminosité, car la même lumière est répartie sur une image plus grande, et la turbulence de l'atmosphère est grossie elle aussi.

4) Saturne. À l'œil nu, $2\times 10^{-4}\mathrm{rad}<{\epsilon }_{\text{œil}}$ : Saturne est un point, les anneaux ne se distinguent pas. Avec l'oculaire de $10\mathrm{mm}$, $$70\times 2\times 10^{-4}=1,4\times 10^{-2}\mathrm{rad}\approx 48^{\prime },$$ plus que le diamètre apparent de la Lune à l'œil nu ($31^{\prime }$) : les anneaux sont nettement visibles.

5) Le cercle oculaire. Pour l'oculaire, la monture de l'objectif est un objet placé en $O_1$, à la distance $f_1^{\prime }$ avant $F_1^{\prime }=F_2$ : $\overline{F_2{O}_1}=-f_1^{\prime }$. La relation de Newton $\overline{F_{2}A}\cdot \overline{F_2^{\prime }{A}^{\prime }}=-f_2^{\prime 2}$ donne $$\overline{F_2^{\prime }{A}^{\prime }}=\frac{-f_2^{\prime 2}}{-f_1^{\prime }}=\frac{f_2^{\prime 2}}{f_1^{\prime }}>0,$$ et le grandissement vaut $$\gamma =-\frac{\overline{F_2^{\prime }{A}^{\prime }}}{f_2^{\prime }}=-\frac{f_2^{\prime }}{f_1^{\prime }},D^{\prime }=\left|\gamma \right|D=\frac{D{f}_2^{\prime }}{f_1^{\prime }}=\frac{D}{\left|G\right|}.$$ Pour les trois oculaires : $D^{\prime }=2,5\mathrm{mm}$, $1,0\mathrm{mm}$ et $0,40\mathrm{mm}$, à $0,89\mathrm{mm}$, $0,14\mathrm{mm}$ et $0,02\mathrm{mm}$ après $F_2^{\prime }$. Tous les rayons qui ont traversé la lunette passent par ce petit disque : l'œil s'y place, sa pupille (plus large que $D^{\prime }$) les reçoit tous. Un cercle oculaire de $0,4\mathrm{mm}$ n'éclaire qu'une petite partie de la pupille : c'est une autre façon de voir que l'image devient sombre au 3).

Ce que l'exercice installe. Les « données caractéristiques » d'une lunette (diamètre et focale de l'objectif, focale des oculaires) suffisent à prévoir ce qu'elle montre : le grossissement $f_1^{\prime }/f_2^{\prime }$, le grossissement résolvant ${\epsilon }_{\text{œil}}D/\lambda$, le cercle oculaire $D/\left|G\right|$. Grossir au-delà du nécessaire n'ajoute aucun détail.