Construire le rayon réfracté ; établir la condition de réflexion totale

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 2 — Réflexion et réfraction : lois de Snell-Descartes · B. Les lois de Snell-Descartes

Énoncé

Un rayon arrive en $I$ sur un dioptre plan séparant un milieu d'indice $n_{1}$ (au-dessus) d'un milieu d'indice $n_{2}$ (au-dessous). On trace deux demi-cercles de centre $I$ , situés du côté du milieu 2, de rayons proportionnels à $n_{1}$ et $n_{2}$ (par exemple $n_{1}$ et $n_{2}$ décimètres). On prolonge le rayon incident au-delà de $I$ jusqu'à son intersection $P$ avec le cercle de rayon $n_{1}$ ; on mène par $P$ la parallèle à la normale, qui recoupe le cercle de rayon $n_{2}$ en $Q$ .

1) Montrer que $I Q$ est le rayon réfracté.

2) Réaliser la construction pour air → verre ( $n_{2} = 1, 50$ ), $i_{1} = 5 0^{\circ}$ , et mesurer $i_{2}$ sur la figure. Où lit-on, sur la figure, que le rayon se rapproche de la normale ?

3) On suppose maintenant $n_{1} > n_{2}$ (verre → air). Montrer que la construction n'est possible que si $i_{1}$ ne dépasse pas une valeur $i_{l i m}$ que l'on caractérisera géométriquement. En déduire la condition de réflexion totale $sin i_{l i m} = n_{2} / n_{1}$ . Que se passe-t-il pour $i_{1} > i_{l i m}$ ?

4) Pour air → verre, montrer que la déviation $δ = i_{1} - i_{2}$ croît avec $i_{1}$ et calculer sa valeur maximale. Même question pour air → eau.

5) Pour de petits angles, on remplace la loi par $n_{1} i_{1} = n_{2} i_{2}$ (loi de Kepler). Pour air → verre, jusqu'à quelle incidence l'erreur relative sur $i_{2}$ reste-t-elle inférieure à 1 % ?

Corrigé

La stratégie. La loi $n_{1} sin i_{1} = n_{2} sin i_{2}$ dit que deux longueurs sont égales : la projection sur le dioptre d'un segment de longueur $n_{1}$ porté par le rayon incident, et celle d'un segment de longueur $n_{2}$ porté par le rayon réfracté. La construction des deux cercles matérialise exactement cette égalité. Dès lors, tout ce que dit la loi se lit sur la figure — y compris le moment où elle n'a plus de solution.

1) Pourquoi $I Q$ est le rayon réfracté. Le prolongement du rayon incident au-delà de $I$ fait avec la normale l'angle $i_{1}$ ; le point $P$ est à la distance $n_{1}$ de $I$ sur ce prolongement, donc à la distance $n_{1} sin i_{1}$ de la normale. La droite menée par $P$ parallèlement à la normale est l'ensemble des points situés à cette même distance de la normale ; $Q$ , qui est sur cette droite et sur le cercle de rayon $n_{2}$ , vérifie donc $I Q = n_{2}$ et (distance de $Q$ à la normale) $= n_{1} sin i_{1}$ . En notant $i_{2}$ l'angle entre $I Q$ et la normale, cette distance vaut aussi $n_{2} sin i_{2}$ : $n_{2} sin i_{2} = n_{1} sin i_{1} .$ Enfin $Q$ est dans le plan de la figure (plan d'incidence), du côté du milieu 2 et de l'autre côté de la normale par rapport au rayon incident. Les deux lois de la réfraction sont satisfaites : $I Q$ est le rayon réfracté.

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