La lame à faces parallèles

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 2 — Réflexion et réfraction : lois de Snell-Descartes · B. Les lois de Snell-Descartes

Énoncé

Une lame de verre d'indice $n$ , d'épaisseur $e$ , à faces parallèles, est plongée dans l'air. Un rayon l'atteint sous l'incidence $i$ et se réfracte sous l'angle $r$ .

1) Montrer que le rayon émergent est parallèle au rayon incident.

2) Montrer que le décalage latéral entre le rayon incident et le rayon émergent (distance entre les deux droites parallèles) vaut $d = e \frac{sin ( i - r )}{cos r} .$

3) Pour $e = 2, 0$ cm, $n = 1, 5$ et $i = 4 5^{\circ}$ , calculer $r$ et $d$ .

4) Établir l'expression approchée de $d$ aux petits angles, puis étudier les cas limites $i \to 0$ et $i \to 9 0^{\circ}$ . Pourquoi ne voit-on aucun décalage à travers une vitre ordinaire regardée de face ?

5) Le micromètre optique : une lame d'épaisseur $e = 10$ mm et d'indice $1, 5$ , placée sur un faisceau, tourne d'un petit angle $θ$ autour d'un axe perpendiculaire au plan d'incidence (incidence initiale nulle). De combien le faisceau se décale-t-il par degré de rotation ? Quel est l'intérêt du dispositif ?

Corrigé

La stratégie. Deux réfractions sur deux dioptres parallèles ont la même normale : la seconde défait la première. Le résultat est un rayon parallèle, et tout l'effet de la lame se réduit à une translation qu'on calcule par la géométrie d'un triangle.

1) Le parallélisme. À l'entrée, $sin i = n sin r$ . Les faces étant parallèles, la normale à la face de sortie est parallèle à celle d'entrée, et le rayon intérieur l'atteint sous l'angle $r$ (angles alternes-internes). À la sortie, $n sin r = sin i^{'}$ . Donc $sin i^{'} = sin i$ , et, les deux angles étant aigus, $i^{'} = i$ : le rayon émergent est parallèle au rayon incident. C'est aussi le retour inverse : la seconde réfraction est la première parcourue à l'envers.

2) Le décalage. Notons $I$ le point d'entrée et $J$ le point de sortie. La longueur parcourue dans la lame vaut $I J = e / cos r$ (la composante normale de $I J$ est l'épaisseur $e$ ). Le décalage est la distance de $J$ au prolongement du rayon incident ; ce prolongement fait avec $I J$ l'angle $i - r$ . Dans le triangle rectangle formé par $I$ , $J$ et le pied de la perpendiculaire, $d = I J sin (i - r) = e \frac{sin ( i - r )}{cos r} .$

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