Le disque lumineux et la fenêtre de Snell

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 2 — Réflexion et réfraction : lois de Snell-Descartes · C. La réflexion totale

Énoncé

Une petite lampe ponctuelle et isotrope est posée au fond d'une piscine, à la profondeur $h = 2, 0$ m ( $n = 1, 33$ ).

1) Montrer que la lumière de la lampe ne sort de l'eau que par un disque de la surface, dont on calculera le rayon $ρ$ en fonction de $h$ et $n$ . Que voit-on de l'extérieur si l'on pose sur la surface un flotteur opaque circulaire, centré à la verticale de la lampe, de rayon $ρ$ ?

2) Quelle fraction de la lumière émise vers le haut par la lampe atteint ce disque ? (On admet que la fraction d'une émission isotrope contenue dans un cône de demi-angle $α$ autour de la verticale vaut $(1 - cos α) /2$ .)

3) Un plongeur, l'œil à la place de la lampe, regarde vers le haut. Par le principe du retour inverse, montrer qu'il voit tout le ciel, d'un horizon à l'autre, dans un cône de demi-angle $i_{l i m}$ . Que voit-il en dehors de ce cône ?

4) Sous quel angle (par rapport à la verticale) le plongeur voit-il un arbre dont le sommet est à $1 0^{\circ}$ au-dessus de l'horizon ? Un point à $4 5^{\circ}$ ? Commenter la façon dont le ciel est comprimé.

Corrigé

La stratégie. La réflexion totale borne les directions dans lesquelles la lumière peut sortir de l'eau ; par le retour inverse, elle borne aussi celles dans lesquelles la lumière peut entrer. La même construction répond donc à une question d'éclairage (la lampe) et à une question de vision (le plongeur) — c'est la méthode de l'exercice sur la fenêtre du TD précédent.

1) Le disque lumineux. Un rayon issu de la lampe atteint la surface sous l'incidence $r$ , et n'en sort que si $r \leq i_{l i m}$ , avec $sin i_{l i m} = 1/ n$ ; au-delà, il est totalement réfléchi vers le fond. Les points de sortie sont donc à une distance de la verticale au plus égale à $ρ = h tan i_{l i m} = \frac{h}{n ^{2} - 1} = \frac{2 , 0}{1 , 3 3 ^{2} - 1} = 2, 3 m,$ en utilisant $tan i = \frac{sin i}{1 - sin ^{2} i} = \frac{1/ n}{1 - 1/ n ^{2}} = \frac{1}{n ^{2} - 1}$ . Un flotteur opaque de rayon $2, 3$ m centré à la verticale masque complètement la lampe depuis l'extérieur, de quelque point qu'on regarde : aucun rayon ne sort hors du disque. Homogénéité : $ρ$ est une longueur. Cas limite : $n \to 1$ donne $ρ \to \infty$ , plus de réflexion totale.

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.