Le mirage : l'invariant $n sin i$

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 2 — Réflexion et réfraction : lois de Snell-Descartes · C. La réflexion totale

Énoncé

1) Un milieu est formé de couches planes horizontales, chacune homogène, d'indices $n_{0}$ , $n_{1}$ , $n_{2}$ , … Un rayon les traverse en faisant avec la verticale les angles $i_{0}$ , $i_{1}$ , $i_{2}$ , … Montrer que $n_{k} sin i_{k}$ est le même dans toutes les couches. En passant à la limite d'un indice $n (z)$ qui varie continûment avec l'altitude $z$ , en déduire que $n (z) sin i (z)$ se conserve le long du rayon.

2) Au-dessus d'une route chaude, l'indice de l'air croît avec l'altitude. Montrer qu'un rayon qui descend en s'inclinant vers le sol s'incurve, devient horizontal à une altitude $z_{m}$ telle que $n (z_{m}) = n (z_{0}) sin i_{0}$ , puis remonte. Pourquoi parle-t-on de réflexion totale « progressive » ?

3) On reprend le TD du chapitre 1 : entre le ras du bitume ( $6 0^{\circ}$ C) et la hauteur d'œil ( $3 0^{\circ}$ C), l'indice de l'air varie de $Δ n = 2, 4 \times 1 0^{- 5}$ . Un rayon arrive à l'œil en venant d'une direction située à l'angle $α$ sous l'horizontale. Montrer qu'il a pu rebrousser chemin sans toucher le sol si et seulement si $α \leq α_{m a x}$ avec $cos α_{m a x} = 1 - Δ n / n$ , et calculer $α_{m a x}$ . Que voit l'observateur dans les directions $α < α_{m a x}$ ?

4) On modélise le profil d'indice par une loi affine, $n (z) = n_{s} + g z$ , avec $g = Δ n / H$ et $H = 1, 5$ m (hauteur de l'œil). Pour des rayons presque horizontaux, on admet que le rayon est une parabole d'équation $z (x) = H - α x + \frac{1}{2} g x^{2}$ . À quelle distance de l'observateur se trouve la « flaque » ? Commenter.

5) Cas limite : que devient le mirage quand $Δ n \to 0$ ? La figure du mirage du cours exagère volontairement les écarts d'indice ; expliquer pourquoi on peut le faire sans jamais écrire un indice inférieur à $1$ .

Corrigé

La stratégie. Dans un milieu stratifié, toutes les interfaces sont parallèles : elles ont la même normale, verticale. La loi de Snell-Descartes, appliquée à chaque interface, fournit alors un invariant, qui remplace le calcul pas à pas et donne immédiatement l'altitude où le rayon se retourne.

1) L'invariant. À l'interface entre les couches $k$ et $k + 1$ , la normale est verticale ; l'angle de réfraction dans la couche $k$ est aussi l'angle d'incidence sur l'interface suivante (interfaces parallèles, comme pour la lame de l'exercice 3). La loi donne $n_{k} sin i_{k} = n_{k + 1} sin i_{k + 1}$ , et de proche en proche $n_{0} sin i_{0} = n_{1} sin i_{1} = n_{2} sin i_{2} = \dots$ En découpant un milieu d'indice continu $n (z)$ en couches de plus en plus fines, l'égalité vaut entre deux altitudes quelconques : $n (z) sin i (z) = cte$ le long du rayon. La figure du mirage du cours vérifie exactement cette relation couche par couche.

2) Le rayon se retourne. Un rayon descend vers des couches d'indice de plus en plus faible ; pour que $n sin i$ reste constant, $sin i$ doit croître : le rayon s'écarte de la verticale, se couche. Il devient horizontal ( $i = 9 0^{\circ}$ ) à l'altitude $z_{m}$ telle que $n (z_{m}) \times 1 = n (z_{0}) sin i_{0} .$ Il ne peut pas descendre plus bas : cela demanderait $sin i > 1$ . Il repart donc vers le haut, symétriquement (par retour inverse, le trajet montant est le trajet descendant parcouru à l'envers). À chaque couche le rayon est réfracté, et ce n'est qu'au point de rebroussement qu'il atteint la condition de réflexion totale : il n'y a aucune surface réfléchissante, la réflexion totale est étalée sur l'épaisseur des couches. D'où l'expression « réflexion totale progressive ». Le rayon s'incurve toujours vers les indices forts : ici vers le haut.

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.

Le mirage : l'invariant nsini

Énoncé

Corrigé

Le mirage : l'invariant $n sin i$