Le prisme : émergence et minimum de déviation

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 2 — Réflexion et réfraction : lois de Snell-Descartes · B. Les lois de Snell-Descartes

Énoncé

Un prisme est un bloc de verre d'indice $n$ limité par deux faces planes qui font entre elles l'angle $A$ (angle au sommet). Le prisme n'est pas au programme en tant que tel : on le traite ici par les seules lois de Snell-Descartes et par la géométrie. Un rayon, contenu dans un plan perpendiculaire à l'arête, entre par la première face sous l'incidence $i$ , se réfracte sous l'angle $r$ , atteint la seconde face sous l'incidence $r^{'}$ et ressort sous l'angle $i^{'}$ . Données : $A = 6 0^{\circ}$ , $n = 1, 50$ .

1) Établir les quatre relations du prisme : $sin i = n sin r$ ; $sin i^{'} = n sin r^{'}$ ; $r + r^{'} = A$ ; $D = i + i^{'} - A$ , où $D$ est la déviation totale.

2) Condition d'émergence. Montrer qu'aucun rayon ne ressort par la seconde face si $A > 2 i_{l i m}$ . Pour $A = 6 0^{\circ}$ , calculer l'incidence minimale $i_{0}$ en dessous de laquelle le rayon subit une réflexion totale sur la seconde face.

3) Calculer la déviation pour $i = i_{0}$ (émergence rasante) et pour $i = 9 0^{\circ}$ (incidence rasante). Expliquer l'égalité obtenue par le principe du retour inverse.

4) On admet que la déviation, fonction de $i$ , admet un minimum unique $D_{m}$ (on peut le constater sur un tableau de valeurs). Montrer, par le seul principe du retour inverse, qu'au minimum le trajet est symétrique : $i = i^{'}$ et $r = r^{'} = A /2$ . En déduire $n = \frac{sin \frac{A + D _{m}}{2}}{sin \frac{A}{2}},$ puis calculer $D_{m}$ et l'incidence correspondante.

5) Le prisme est taillé dans le crown BK7 dont l'indice vaut $1, 52238$ pour la raie bleue $F$ et $1, 51432$ pour la raie rouge $C$ (données du TD du chapitre 1). Calculer les deux déviations minimales et leur écart. Quelle couleur est la plus déviée ? Avec quelle précision faut-il mesurer $D_{m}$ pour connaître $n$ à $2 \times 1 0^{- 4}$ près ?

Corrigé

La stratégie. Le prisme, c'est deux dioptres plans non parallèles : contrairement à la lame, la seconde réfraction ne défait plus la première. On écrit Snell-Descartes deux fois, la géométrie du triangle relie les deux angles internes, et la déviation est la somme des deux coudes. Pour le minimum, au lieu de dériver, on utilise une symétrie.

1) Les quatre relations. Les deux premières sont les lois de la réfraction en entrée et en sortie (l'air a l'indice $1$ ). Géométrie : les normales aux deux faces, tracées aux points d'incidence $I$ et $J$ , se coupent en un point $K$ ; dans le quadrilatère formé par le sommet du prisme, $I$ , $K$ et $J$ , les angles en $I$ et $J$ sont droits, donc l'angle en $K$ vaut $18 0^{\circ} - A$ . Dans le triangle $I J K$ , les angles en $I$ et $J$ sont $r$ et $r^{'}$ : $r + r^{'} + (18 0^{\circ} - A) = 18 0^{\circ}$ , soit $r + r^{'} = A .$ Déviation : en $I$ , le rayon tourne de $i - r$ vers la base ; en $J$ , de $i^{'} - r^{'}$ , dans le même sens. La déviation totale est la somme : $D = (i - r) + (i^{'} - r^{'}) = i + i^{'} - A$ .

2) La condition d'émergence. Le rayon ne sort par la seconde face que si $r^{'} \leq i_{l i m}$ , avec $sin i_{l i m} = 1/ n$ ; et l'on a toujours $r \leq i_{l i m}$ (un rayon qui entre depuis l'air se réfracte sous un angle au plus égal à l'angle limite, exercice 2). Donc $A = r + r^{'} \leq 2 i_{l i m}$ est nécessaire : si $A > 2 i_{l i m} = 83, 6^{\circ}$ (pour $n = 1, 50$ ), aucun rayon ne ressort. Pour $A = 6 0^{\circ}$ , la condition $r^{'} = A - r \leq i_{l i m}$ impose $r \geq A - i_{l i m} = 18, 1 9^{\circ}$ , soit $sin i \geq n sin (A - i_{l i m}) = 1, 50 \times sin 18, 1 9^{\circ} = 0, 468, i \geq i_{0} = 27, 9^{\circ} .$ En dessous de $27, 9^{\circ}$ , la lumière est totalement réfléchie par la seconde face.

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