Problème : l'arc-en-ciel et le rayon de Descartes

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 2 — Réflexion et réfraction : lois de Snell-Descartes · B. Les lois de Snell-Descartes

Énoncé

Une goutte de pluie est une sphère d'eau, d'indice $n = 1, 333$ pour la lumière jaune ( $n_{rouge} = 1, 3312$ , $n_{violet} = 1, 3435$ ). Les rayons du Soleil, parallèles entre eux, l'éclairent. On étudie les rayons qui entrent dans la goutte, s'y réfléchissent une fois sur la face arrière, puis ressortent. À chaque point d'incidence, on applique les lois de Snell-Descartes en remplaçant la surface de la goutte par son plan tangent, dont la normale est le rayon de la sphère. Le diamètre apparent du Soleil vaut $0, 5 3^{\circ}$ .

1) Trajet. Un rayon entre sous l'incidence $i$ et se réfracte sous l'angle $r$ , avec $sin i = n sin r$ . Montrer, à l'aide des triangles isocèles formés avec le centre de la goutte, que l'incidence sur la face arrière et l'incidence sur la face de sortie valent toutes deux $r$ , et que le rayon ressort sous l'angle $i$ . Montrer qu'il n'y a jamais réflexion totale sur la face arrière. Que devient la lumière qui n'y est pas réfléchie ?

2) Déviation. Établir que la déviation totale du rayon vaut $D (i) = 18 0^{\circ} + 2 i - 4 r$ .

3) Le rayon de Descartes. Montrer que $\frac{d D}{d i} = 0$ si et seulement si $cos^{2} i = \frac{n ^{2} - 1}{3}$ . Calculer l'incidence $i_{D}$ correspondante, l'angle $r_{D}$ , la déviation minimale $D_{m i n}$ , et l'angle $θ = 18 0^{\circ} - D_{m i n}$ que fait la direction de la lumière qui ressort avec la direction antisolaire (direction opposée au Soleil).

4) Pourquoi un arc lumineux. Expliquer pourquoi la lumière qui ressort de la goutte est concentrée au voisinage de $θ$ . On admet que les rayons incidents sont uniformément répartis sur la section de la goutte, donc que la fraction de lumière incidente entre les incidences $i$ et $i + d i$ est proportionnelle à $d (sin^{2} i)$ ; un calcul numérique montre que $20 %$ de la lumière qui suit ce trajet ressort à moins de $1^{\circ}$ de $θ$ , contre $2, 6 %$ entre $3 0^{\circ}$ et $3 1^{\circ}$ . Interpréter, puis expliquer pourquoi l'observateur voit un arc de cercle centré sur le point antisolaire.

5) Couleurs. Calculer $θ$ pour le rouge et pour le violet. Quelle couleur est à l'extérieur de l'arc ? Quelle est la largeur angulaire de l'arc, compte tenu du diamètre apparent du Soleil ?

6) Quand le voir, et cas limites. Pourquoi faut-il que le Soleil soit à moins de $4 2^{\circ}$ au-dessus de l'horizon pour voir l'arc depuis le sol ? Peut-on voir un arc-en-ciel à midi, fin juin, à Paris (latitude $48, 8 5^{\circ}$ , déclinaison du Soleil $23, 4 4^{\circ}$ ) ? Étudier les cas limites $n \to 1$ et $n \to 2$ de la formule du 3). Énoncer le résultat obtenu.

Corrigé

La stratégie. Une goutte dévie la lumière d'un angle qui dépend du point d'entrée : un faisceau parallèle en ressort dans toutes les directions. Mais là où la déviation est stationnaire, une large plage de points d'entrée ressort presque dans la même direction : la lumière s'y accumule. L'arc-en-ciel est cette accumulation, et la dispersion la colore. On fait le calcul de Descartes : trajet, déviation, extremum.

1) Le trajet, et pourquoi la réflexion totale n'a jamais lieu. Notons $O$ le centre, $I$ le point d'entrée, $J$ le point de réflexion arrière, $K$ le point de sortie. Les normales en ces points sont les rayons $O I$ , $O J$ , $O K$ , tous de longueur $R$ . Le triangle $O I J$ est isocèle en $O$ ( $O I = O J = R$ ) : ses angles en $I$ et $J$ sont égaux. L'angle en $I$ , entre la corde $I J$ et la normale $O I$ , est l'angle de réfraction $r$ ; l'angle d'incidence en $J$ est donc aussi $r$ . La réflexion en $J$ renvoie le rayon sous l'angle $r$ ; le triangle $O J K$ est isocèle de même, et l'incidence en $K$ vaut encore $r$ . À la sortie, $n sin r = sin i^{'}$ , donc $i^{'} = i$ : le rayon ressort sous l'angle d'entrée. Toutes les incidences internes valent $r$ , et $sin r = \frac{sin i}{n} \leq \frac{1}{n} = sin i_{l i m}$ : $r \leq i_{l i m}$ pour tout rayon, avec égalité seulement pour l'incidence rasante. La réflexion en $J$ n'est jamais totale : elle est partielle (de l'ordre de quelques pour cent, exercice 1), et l'essentiel de la lumière ressort par l'arrière de la goutte. L'arc-en-ciel est fait de ces quelques pour cent ; c'est pourquoi il est beaucoup moins lumineux que le ciel qui l'entoure.

2) La déviation. On suit la direction du rayon et on additionne les rotations, toutes dans le même sens. En $I$ , la réfraction le fait tourner de $i - r$ . En $J$ , la réflexion le fait tourner de $18 0^{\circ} - 2 r$ (un rayon qui arrive sous l'incidence $r$ et repart symétrique est dévié du supplémentaire de $2 r$ ). En $K$ , la réfraction le fait tourner de $i - r$ à nouveau. Au total : $D (i) = (i - r) + (18 0^{\circ} - 2 r) + (i - r) = 18 0^{\circ} + 2 i - 4 r .$ Cas particulier de contrôle : en incidence normale, $i = r = 0$ , $D = 18 0^{\circ}$ : le rayon central est renvoyé vers le Soleil, ce qui est évident par symétrie.

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