Profondeur apparente, hors des petits angles

Un objet ponctuel $A$ est posé au fond d'une piscine, à la profondeur $h$ sous la surface plane de l'eau ($n=1,33$). Un rayon issu de $A$ fait avec la verticale l'angle $r$ dans l'eau, et émerge dans l'air sous l'angle $i$. On note $A^{\prime }$ le point où le prolongement du rayon émergent recoupe la verticale de $A$, et $h^{\prime }$ sa profondeur.

1) Établir $h^{\prime }=h\frac{\tan r}{\tan i}$.

2) Dans l'approximation des petits angles, montrer que $h^{\prime }=h/n$ et interpréter. Reprendre le calcul pour un objet situé dans l'air, à la hauteur $h$ au-dessus de l'eau, vu par un plongeur à la verticale : à quelle hauteur le voit-il ?

3) Calculer $h^{\prime }/h$ pour $i=20^{\circ }$, $30^{\circ }$ et $50^{\circ }$. Les rayons issus de $A$ et émergeant sous des angles différents semblent-ils provenir d'un même point ? Conclure sur le stigmatisme du dioptre plan.

4) Un pêcheur voit à la verticale un poisson qui semble à $h^{\prime }=0,60$ m sous la surface. À quelle profondeur est-il réellement ? Pour l'atteindre avec un harpon, faut-il viser au-dessus ou au-dessous de ce qu'il voit ? Et avec un faisceau laser ?