Ce que retourne un miroir

Application directe du cours · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 3 — Stigmatisme, miroir plan et approximation de Gauss

Énoncé

1) Soit $A$ un point et $A^{'}$ son symétrique par rapport au plan d'un miroir. Montrer, à partir des lois de la réflexion, que tout rayon issu de $A$ se réfléchit selon une droite passant par $A^{'}$ . Conclure sur le stigmatisme du miroir plan.

2) On place devant un miroir un trièdre direct $(e_{x}, e_{y}, e_{z})$ , le vecteur $e_{z}$ étant normal au miroir. Quel est le trièdre image ? Est-il direct ? Expliquer pourquoi l'on dit, à tort, qu'un miroir « inverse la gauche et la droite » mais pas le haut et le bas.

3) Une personne lève la main droite devant un miroir. Que lève son image ? Peut-on lire dans un miroir un texte imprimé ? Et à travers deux réflexions successives ?

4) Un périscope est formé de deux miroirs plans parallèles inclinés à $4 5^{\circ}$ sur la verticale, dont les centres sont à la verticale l'un de l'autre, séparés de $d = 1, 2 m$ . Montrer que la composée des deux symétries est une translation, dont on donnera le vecteur (norme $d 2$ , dirigé selon la normale aux miroirs). En déduire que l'observateur voit le paysage comme s'il était placé $d$ plus haut et $d$ plus en arrière, et que l'image n'est pas retournée.

5) Énoncer la règle : nombre pair de réflexions, image superposable à l'objet ; nombre impair, image énantiomorphe (image dans un miroir de l'objet, non superposable).

Corrigé

La stratégie. Tout repose sur la symétrie orthogonale par rapport au plan du miroir : on démontre qu'elle décrit la réflexion de tout rayon, puis on regarde ce qu'elle fait d'un repère, et ce que donne la composée de deux d'entre elles.

1) Le stigmatisme rigoureux, démontré. Soit un rayon issu de $A$ qui frappe le miroir en $I$ , et $H$ le pied de la perpendiculaire abaissée de $A$ sur le miroir ; $A^{'}$ est sur $(A H)$ , avec $H A^{'} = H A$ . La normale en $I$ est parallèle à $(A H)$ : le plan d'incidence contient donc $(A H)$ , et $A^{'}$ . Dans ce plan, les triangles $A H I$ et $A^{'} H I$ , rectangles en $H$ , de côté $H I$ commun et avec $H A = H A^{'}$ , sont isométriques : la droite $(I A^{'})$ fait avec la normale le même angle que $(I A)$ . Le rayon réfléchi, de l'autre côté de la normale avec un angle de réflexion égal à l'angle d'incidence, est donc porté par la droite $(A^{'} I)$ .

Ceci vaut pour tout point $I$ : le miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tout point, sans condition sur l'inclinaison des rayons.

2) Le trièdre image. La symétrie par rapport au plan du miroir laisse invariants les vecteurs parallèles au miroir et change en son opposé le vecteur normal : l'image du trièdre est $(e_{x}, e_{y}, - e_{z})$ . Or ce trièdre est indirect : changer le signe d'un seul vecteur change l'orientation. Ce que le miroir inverse, c'est donc l'avant et l'arrière, c'est-à-dire la direction perpendiculaire à son plan.

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