Diaphragmer : aberrations, diffraction, pixel

Un capteur d'appareil photographique a des photosites de côté $p=4,0\mu \mathrm{m}$. L'objectif est caractérisé par son nombre d'ouverture $N$, rapport de sa focale au diamètre de son diaphragme ; fermer le diaphragme augmente $N$. On travaille avec une lumière de longueur d'onde $\lambda =550\mathrm{nm}$. On admet (résultat donné comme outil, hors du programme de ce chapitre) que la diffraction par le diaphragme étale l'image d'un point en une tache de diamètre $d_{\mathrm{diff}}\approx 2,4\lambda N$.

1) Calculer $d_{\mathrm{diff}}$ à $N=8$ puis à $N=22$.

2) Jusqu'à quelle valeur de $N$ la tache de diffraction reste-t-elle plus petite qu'un photosite ?

3) Les aberrations géométriques de l'objectif donnent une tache de diamètre $d_{\mathrm{ab}}=d_0(N_0/N{)}^3$ avec $d_0=24\mu \mathrm{m}$ à $N_0=2$ (modèle donné). On admet que le diamètre de la tache totale est $d=d_{\mathrm{ab}}+d_{\mathrm{diff}}$. Pourquoi $d_{\mathrm{ab}}$ décroît-il quand on ferme le diaphragme ?

4) Déterminer le nombre d'ouverture $N^{\ast }$ qui minimise $d$, et la tache minimale. Montrer qu'à l'optimum $d_{\mathrm{ab}}=\frac{1}{3}{d}_{\mathrm{diff}}$, quels que soient $d_0$ et $\lambda$.

5) La tache minimale couvre combien de photosites ? Le capteur ou l'objectif limite-t-il la netteté ? Que change un capteur de smartphone à photosites de $1\mu \mathrm{m}$ ?