Le dièdre : une déviation qui ignore l'incidence

La stratégie. Plutôt que de suivre les angles d'incidence d'un miroir à l'autre, on regarde la réflexion comme une transformation des directions : chaque réflexion est une symétrie vectorielle, et la composée de deux symétries vectorielles est une rotation.

1) La composée de deux réflexions. Dans le plan perpendiculaire à l'arête, la direction d'un rayon est un vecteur unitaire $\vec{u}$. La réflexion sur un miroir dont la trace fait l'angle ${\alpha }_1$ avec une direction fixe change $\vec{u}$ en son symétrique par rapport à la droite vectorielle d'angle ${\alpha }_1$ : si $\vec{u}$ fait l'angle $\psi$, ${\vec{u}}^{\prime }$ fait l'angle $2{\alpha }_1-\psi$. (C'est la loi de la réflexion : la composante parallèle au miroir est conservée, la composante normale est changée de signe.) Le second miroir, d'angle ${\alpha }_2={\alpha }_1+\theta$, change $2{\alpha }_1-\psi$ en $2{\alpha }_2-(2{\alpha }_1-\psi )=\psi +2\theta$.

Le vecteur directeur a donc tourné de $2\theta$ : l'angle entre le rayon émergent et le rayon incident vaut $2\theta$, quel que soit $\psi$, c'est-à-dire quelle que soit l'incidence. Selon qu'on mesure la déviation dans un sens ou dans l'autre, on la lit $2\theta$ ou $360^{\circ }-2\theta$ ; ce qui est indépendant de l'incidence, c'est l'angle de la rotation. Le point délicat : le résultat suppose que le rayon frappe effectivement les deux miroirs, dans cet ordre ; c'est une condition sur le domaine d'incidence, pas sur la déviation.