Le dioptre plan n'est pas stigmatique

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 3 — Stigmatisme, miroir plan et approximation de Gauss · C. L'approximation de Gauss

Énoncé

Un caillou $A$ repose au fond d'un bassin d'eau d'indice $n = 1, 33$ , à la profondeur $h$ . On considère un rayon issu de $A$ qui fait l'angle $r$ avec la verticale dans l'eau et ressort dans l'air sous l'angle $i$ .

1) Montrer que le prolongement du rayon émergent coupe la verticale de $A$ à la profondeur $h^{'} (i) = \frac{h cos i}{n ^{2} - sin ^{2} i} .$

2) En déduire que le dioptre plan n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point $A$ . Pour quels points le serait-il ?

3) Montrer que, pour des rayons paraxiaux, $h^{'} \to h / n$ , et établir le développement $\frac{h ^{'}}{h / n} \approx 1 - \frac{n ^{2} - 1}{2 n ^{2}} i^{2}$ . Jusqu'à quel angle d'émergence l'écart relatif à $h / n$ reste-t-il inférieur à $1 %$ ?

4) Un observateur regarde verticalement, l'œil à $50 cm$ au-dessus de la surface ; sa pupille a un diamètre de $4 mm$ . Quel est l'angle maximal des rayons issus de $A$ qui entrent dans son œil ? Évaluer l'étalement relatif des $h^{'}$ correspondants et conclure : pourquoi voit-on une image nette d'un objet que le dioptre ne sait pas imager ? Quel « détecteur » fixe ici le critère ?

Corrigé

La stratégie. On suit un rayon quelconque, on écrit où son prolongement coupe la verticale de l'objet, et l'on regarde si ce point dépend du rayon. S'il en dépend, il n'y a pas d'image unique : pas de stigmatisme. On cherche ensuite dans quelles conditions il en dépend peu : ce sont les conditions de Gauss, que l'on chiffre.

1) Le point de concours avec la verticale. Prenons l'origine à la verticale de $A$ , sur la surface. Le rayon issu de $A$ sous l'angle $r$ atteint la surface à la distance horizontale $x = h tan r$ . Il en ressort sous l'angle $i$ , avec $n sin r = sin i$ (loi de la réfraction, l'air ayant pour indice $1$ ). Prolongé vers le bas, le rayon émergent coupe la verticale de $A$ à la profondeur $h^{'}$ telle que $tan i = x / h^{'}$ . Donc $h^{'} = \frac{h tan r}{tan i} .$ Exprimons $tan r$ en fonction de $i$ : $sin r = \frac{sin i}{n}$ et $cos r = 1 - \frac{sin ^{2} i}{n ^{2}} = \frac{n ^{2} - sin ^{2} i}{n}$ , d'où $tan r = \frac{sin i}{n ^{2} - sin ^{2} i}$ . En divisant par $tan i = sin i / cos i$ : $h^{'} (i) = \frac{h cos i}{n ^{2} - sin ^{2} i} .$

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