Le kaléidoscope

Exercice · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 3 — Stigmatisme, miroir plan et approximation de Gauss

Énoncé

Deux miroirs plans forment un angle $θ$ ; un objet placé entre eux donne plusieurs images par réflexions successives. On admet que le nombre d'images vaut $N = \frac{36 0 ^{\circ}}{θ} - 1$ (pour $360/ θ$ entier).

Combien d'images pour $θ = 6 0^{\circ}$ ? pour $θ = 4 5^{\circ}$ ?

Vers quel comportement tend-on quand $θ \to 0$ (miroirs presque parallèles) ?

Pourquoi un vrai kaléidoscope produit-il des motifs symétriques colorés ?

Corrigé

1. $θ = 6 0^{\circ}$ : $N = 360/60 - 1 = 5$ images. $θ = 4 5^{\circ}$ : $N = 360/45 - 1 = 7$ images.

2. Quand $θ \to 0$ , $N \to \infty$ : les deux miroirs presque parallèles donnent une enfilade d'images de plus en plus nombreuses (et de plus en plus sombres).

3. Les réflexions multiples reproduisent l'objet en un motif à symétrie d'ordre $360/ θ$ ; les fragments colorés à l'extrémité fournissent l'objet, sans cesse multiplié.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.