Le miroir argenté en face arrière

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 3 — Stigmatisme, miroir plan et approximation de Gauss · C. L'approximation de Gauss

Énoncé

Une glace de salle de bains est une lame de verre à faces parallèles d'épaisseur $e = 5 mm$ et d'indice $n = 1, 5$ , argentée sur sa face arrière. Un objet ponctuel $A$ est à la distance $d$ devant la face avant. On travaille dans les conditions de Gauss.

1) Rappeler la relation de conjugaison du dioptre plan dans les conditions de Gauss (on pourra s'appuyer sur la limite paraxiale de l'exercice 4). Construire la suite d'images $A \to A_{1} \to A_{2} \to A^{'}$ (dioptre air-verre, face argentée, dioptre verre-air) et montrer que $A^{'}$ est à la distance $d + 2 e / n$ derrière la face avant.

2) En déduire que la glace équivaut à un miroir plan situé à $e / n$ derrière la face avant. Le résultat dépend-il de $d$ ? Pourquoi la conclusion n'est-elle valable que dans les conditions de Gauss ?

3) La face avant réfléchit, en incidence normale, la fraction $R_{0} = (\frac{n - 1}{n + 1})^{2}$ de l'intensité lumineuse (résultat admis, donné ici comme outil) ; l'argenture réfléchit $R = 0, 95$ . Calculer $R_{0}$ , puis l'intensité relative de l'image principale (deux traversées de la face avant). Où se trouve l'image « fantôme » due à la face avant ?

4) Rétroviseur jour/nuit. La lame est un prisme de petit angle $β = 4^{\circ}$ (face avant et face arrière non parallèles), argenté sur la face arrière. Pour un rayon arrivant normalement à la face avant, montrer que le rayon réfléchi par l'argenture ressort en faisant avec le rayon réfléchi par la face avant un angle $arcsin (n sin 2 β) \approx 2 n β$ . Expliquer le fonctionnement de la position « nuit » et le facteur d'atténuation obtenu.

Corrigé

La stratégie. La glace est une succession de trois systèmes simples, chacun stigmatique dans les conditions de Gauss : on applique la méthode des conjugaisons successives, où l'image donnée par un système sert d'objet au suivant. On compte ensuite l'intensité de chaque chemin, puis on exploite le petit angle du prisme pour séparer deux réflexions.

1) Les trois conjugaisons. La relation du dioptre plan. Pour un point $A$ dans un milieu d'indice $n_{1}$ , la lumière traversant un dioptre plan vers un milieu d'indice $n_{2}$ , l'image paraxiale $A^{'}$ est sur la normale au dioptre passant par $A$ , et en notant $H$ le pied de cette normale : $\frac{H A ^{'}}{n _{2}} = \frac{H A}{n _{1}} .$ C'est la limite $i \to 0$ de l'exercice 4, où $n_{1} = n$ , $n_{2} = 1$ : $h^{'} = h / n$ .

Orientons l'axe normal à la glace dans le sens de la lumière incidente, l'origine $S_{1}$ étant sur la face avant ; la face argentée est en $S_{2}$ , avec $S_{1} S_{2} = e$ . L'objet est en $A$ , avec $S_{1} A = - d$ .

Première conjugaison (air vers verre, $n_{1} = 1$ , $n_{2} = n$ ) : $S_{1} A_{1} = n S_{1} A = - n d$ .

Deuxième conjugaison (miroir plan en $S_{2}$ ) : $A_{2}$ est le symétrique de $A_{1}$ par rapport à la face arrière. $A_{1}$ est à la distance $e + n d$ devant $S_{2}$ ; $A_{2}$ est à la même distance derrière : $S_{1} A_{2} = e + (e + n d) = 2 e + n d$ .

Troisième conjugaison (verre vers air, la lumière revenant vers l'avant, $n_{1} = n$ , $n_{2} = 1$ ) : $S_{1} A^{'} = \frac{S _{1} A _{2}}{n} = d + \frac{2 e}{n}$ .

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