Le miroir tournant, du galvanomètre à Foucault

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 3 — Stigmatisme, miroir plan et approximation de Gauss · B. Le miroir plan

Énoncé

1) Un rayon se réfléchit sur un miroir plan. On tourne le miroir d'un angle $α$ autour d'un axe contenu dans son plan et perpendiculaire au plan d'incidence. Montrer que le rayon réfléchi tourne de $2 α$ .

2) Le galvanomètre à miroir. Un petit miroir est fixé sur l'axe mobile d'un appareil de mesure ; un faisceau laser s'y réfléchit et forme une tache sur un écran situé à $L = 2, 0 m$ , perpendiculaire au rayon réfléchi initial. Calculer le déplacement de la tache pour une rotation $α = 0, 5 0^{\circ}$ . En quoi le dispositif amplifie-t-il la mesure ?

3) Mesure de la vitesse de la lumière (Foucault, 1862). Un miroir plan tourne à vitesse angulaire constante $ω$ autour d'un axe contenu dans son plan. Un faisceau fixe s'y réfléchit, parcourt la distance $L$ jusqu'à un réflecteur fixe qui le renvoie exactement sur lui-même, et revient se réfléchir sur le miroir tournant. Montrer que le faisceau de retour est dévié, par rapport au faisceau incident, d'un angle $4 ω L / c$ .

4) On observe le faisceau de retour sur un écran à $ℓ = 1, 0 m$ du miroir tournant. Exprimer $c$ en fonction du déplacement $δ$ de la tache. Application : $L = 20 m$ , $ω = 2 π \times 800 rad s^{- 1}$ ; calculer $δ$ .

5) Avec quelle précision faut-il repérer la tache pour connaître $c$ à $1 %$ près ? Commenter.

Corrigé

La stratégie. Une seule propriété géométrique, l'angle double, puis deux usages : amplifier une petite rotation (galvanomètre), et convertir un temps de vol, trop court pour être chronométré, en un angle, puis en une longueur mesurable (Foucault).

1) L'angle double. Repérons les directions dans le plan d'incidence par leur angle avec une direction fixe. Soit $ν$ l'angle de la normale au miroir, $φ$ celui du rayon incident (orienté vers le miroir). La loi de la réflexion dit que le rayon réfléchi est le symétrique du rayon incident retourné, par rapport à la normale : sa direction vaut $φ^{'} = 2 ν - φ + π$ . Tourner le miroir de $α$ tourne sa normale de $α$ : $ν \to ν + α$ , à rayon incident fixé. Donc $φ^{'} \to φ^{'} + 2 α$ : le rayon réfléchi tourne de $2 α$ , dans le même sens que le miroir.

2) Le galvanomètre. Le rayon réfléchi tourne de $2 α = 1, 0^{\circ}$ ; sur l'écran perpendiculaire au rayon initial, à la distance $L$ , la tache se déplace de $x = L tan 2 α = 2, 0 \times tan (1, 0^{\circ}) \approx 3, 49 cm .$ L'approximation $x \approx 2 Lα$ donne la même valeur. L'amplification tient à deux facteurs : le facteur $2$ de la réflexion, et le bras de levier optique $L$ , sans masse ni inertie. La sensibilité vaut $2 L = 4 m ra d^{- 1}$ : un millimètre lu sur l'écran correspond à $2, 5 \times 1 0^{- 4} rad$ .

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