Objet virtuel, image réelle : le miroir diagonal du télescope de Newton

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 3 — Stigmatisme, miroir plan et approximation de Gauss · A. Objet, image et stigmatisme

Énoncé

L'objectif d'un télescope (dont on ne demande pas la nature) produit un faisceau qui converge vers un point $A$ de son axe, situé à $1000 mm$ de l'objectif ; le faisceau a un diamètre de $200 mm$ à la sortie de l'objectif. Pour ramener l'image sur le côté du tube, Newton place sur l'axe, à $850 mm$ de l'objectif, un petit miroir plan incliné à $4 5^{\circ}$ sur l'axe.

1) Le miroir intercepte le faisceau avant qu'il n'atteigne $A$ . Le point $A$ est-il un point objet réel ou virtuel pour le miroir ? Justifier par le trajet des rayons, et non par la position de $A$ .

2) Montrer, en utilisant le stigmatisme rigoureux du miroir plan, que les rayons réfléchis convergent effectivement en un point $A^{'}$ que l'on construira. $A^{'}$ est-il réel ou virtuel ? Où placer l'oculaire, ou un capteur ?

3) À quelle distance de l'axe du tube se trouve $A^{'}$ ?

4) Le faisceau issu d'un point de l'axe est un cône de sommet $A$ . Calculer le diamètre de sa section à l'endroit du miroir (perpendiculairement à l'axe), puis la longueur du grand axe de l'ellipse éclairée sur le miroir incliné. Pourquoi a-t-on intérêt à placer le miroir le plus près possible de $A$ ?

5) Récapituler, pour un miroir plan, les quatre cas objet réel ou virtuel, image réelle ou virtuelle. Lesquels sont réalisables ?

Corrigé

La stratégie. Un point objet est défini par les rayons qui arrivent sur le système : réel s'ils en sont issus, virtuel s'ils se dirigent vers lui et sont interceptés avant. On applique ensuite le stigmatisme rigoureux du miroir plan.

1) Un objet virtuel situé devant le miroir. Les rayons qui arrivent sur le miroir ne viennent pas de $A$ : ils viennent de l'objectif et se dirigent vers $A$ . Le miroir les intercepte à $850 mm$ de l'objectif, soit $150 mm$ avant qu'ils n'atteignent $A$ ; aucun rayon ne passe donc réellement par $A$ : seuls les prolongements des rayons incidents, au-delà du miroir, s'y coupent. $A$ est un objet virtuel pour le miroir.

Le point délicat. Géométriquement, $A$ est situé « derrière » le miroir, du côté où la lumière ne va pas après réflexion. Mais ce n'est pas la position qui décide : c'est le trajet. Un objet virtuel est la signature d'un faisceau convergent intercepté avant sa convergence.

2) L'image est réelle. Soit un rayon incident quelconque du faisceau ; son prolongement passe par $A$ . La loi de la réflexion dit que le rayon réfléchi est le symétrique, par rapport au plan du miroir, du prolongement du rayon incident ; le symétrique d'une droite passant par $A$ est une droite passant par $A^{'}$ , symétrique de $A$ . Donc tout rayon réfléchi passe par $A^{'}$ : c'est le stigmatisme rigoureux, valable que l'objet soit réel ou virtuel.

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