Pourquoi le fond de la piscine se relève

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 3 — Stigmatisme, miroir plan et approximation de Gauss

Énoncé

Un caillou $A$ repose au fond d'un bassin d'eau d'indice $n = 1, 33$ , à la profondeur $h$ ; un rayon issu de $A$ fait l'angle $r$ avec la verticale dans l'eau et ressort dans l'air sous l'angle $i$ . On admet que le prolongement du rayon émergent coupe la verticale de $A$ à la profondeur $h^{'} (i) = \frac{h cos i}{n ^{2} - sin ^{2} i}$ . L'observateur regarde le caillou en oblique : les rayons qui entrent dans sa pupille émergent tous au voisinage d'un même angle $i$ .

1) Ce que l'œil perçoit est le point de concours des prolongements de deux rayons voisins (émergeant sous $i$ et $i + d i$ ). Montrer que ce point est à la profondeur

$h_{t} (i) = \frac{n ^{2} h cos ^{3} i}{( n ^{2} - sin ^{2} i ) ^{3/2}} .$

(Indication : le rayon qui émerge sous $i$ quitte l'eau à l'abscisse $x (i) = h tan r$ ; son prolongement est la droite d'équation $X = x (i) - y tan i$ , où $y$ est la profondeur ; chercher l'intersection de deux droites voisines de cette famille.)

2) Vérifier que $h_{t} \to h / n$ quand $i \to 0$ . Comparer $h_{t}$ et $h^{'}$ à $i = 3 0^{\circ}$ et $i = 6 0^{\circ}$ . Que signifie l'existence de deux « images » distinctes pour un même pinceau ?

3) Un nageur debout au bord d'un bassin de profondeur uniforme regarde le fond de plus en plus loin. Expliquer pourquoi le fond lui semble remonter, et pourquoi le bassin paraît moins profond qu'il n'est.

4) (Facultatif, Python.) Vérifier numériquement la formule de $h_{t}$ en calculant l'intersection de deux rayons voisins.

Corrigé

La stratégie. L'œil reçoit un pinceau étroit de rayons et localise l'objet là où les rayons de ce pinceau semblent se croiser. On calcule donc l'intersection de deux prolongements infiniment voisins, et non celle d'un prolongement avec une droite choisie à l'avance, comme la verticale de $A$ qui définit $h^{'}$ .

1) L'intersection de deux rayons voisins. Avec les notations de l'énoncé, $x (i) = h tan r = \frac{h sin i}{n ^{2} - sin ^{2} i}$ . Le rayon émergent sort au point $(x (i), 0)$ et monte en faisant l'angle $i$ avec la verticale ; son prolongement vers le bas est la droite des points d'abscisse $X = x (i) - y tan i$ , à la profondeur $y$ . Deux rayons voisins, sous $i$ et $i + d i$ , se coupent au point où

$x (i) - y tan i = x (i + d i) - y tan (i + d i),$

soit, en divisant par $d i$ et en faisant tendre $d i$ vers zéro, $\frac{d x}{d i} = y \frac{d ( tan i )}{d i} = \frac{y}{cos ^{2} i}$ . La profondeur cherchée est donc $h_{t} = cos^{2} i \frac{d x}{d i}$ .

Calculons la dérivée. Posons $u = sin i$ , de dérivée $cos i$ :

$\frac{d x}{d i} = h cos i \frac{n ^{2} - u ^{2} + \frac{u ^{2}}{n ^{2} - u ^{2}}}{n ^{2} - u ^{2}} = h cos i \frac{( n ^{2} - u ^{2} ) + u ^{2}}{( n ^{2} - u ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{n ^{2} h cos i}{( n ^{2} - sin ^{2} i ) ^{3/2}} .$

En multipliant par $cos^{2} i$ :

$h_{t} (i) = \frac{n ^{2} h cos ^{3} i}{( n ^{2} - sin ^{2} i ) ^{3/2}} .$

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.