Problème : le théorème du kaléidoscope

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 3 — Stigmatisme, miroir plan et approximation de Gauss · B. Le miroir plan

Énoncé

Deux miroirs plans $M_{1}$ et $M_{2}$ , réfléchissants sur leurs faces en regard, ont une arête commune et forment un dièdre d'angle $θ$ . Un point objet $P$ est placé entre eux. On travaille dans le plan perpendiculaire à l'arête passant par $P$ ; l'arête y est un point $O$ , et l'on repère tout point par ses coordonnées polaires d'origine $O$ . Le miroir $M_{1}$ est la demi-droite d'angle $0$ , le miroir $M_{2}$ la demi-droite d'angle $θ$ , et $P$ a pour coordonnées $(ρ, φ)$ avec $0 < φ < θ$ . Chaque image donnée par un miroir peut servir d'objet à l'autre miroir, à condition de se trouver devant sa face réfléchissante (dans le demi-plan limité par la droite qui porte ce miroir et contenant l'objet $P$ ) ; sinon la chaîne s'arrête. On suppose d'abord $θ = 18 0^{\circ} / p$ , avec $p$ entier, $p \geq 2$ .

1) Montrer que la symétrie par rapport à la droite d'angle $α$ passant par $O$ envoie le point d'angle polaire $ψ$ sur le point de même rayon et d'angle $2 α - ψ$ . En déduire que la composée de deux symétries d'axes passant par $O$ et faisant l'angle $θ$ est une rotation de centre $O$ et d'angle $2 θ$ .

2) On distingue deux chaînes d'images : celle qui commence par une réflexion sur $M_{1}$ , puis $M_{2}$ , puis $M_{1}$ … et celle qui commence par $M_{2}$ . Écrire les angles polaires des images successives de chaque chaîne. Montrer que toutes les images sont sur le cercle de centre $O$ passant par $P$ .

3) On découpe le plan en $2 p$ secteurs d'angle $θ$ , le secteur $Σ_{0}$ étant celui de l'objet, compris entre les deux miroirs, et les autres numérotés $Σ_{\pm 1}, Σ_{\pm 2}, \dots$ de part et d'autre, $Σ_{p} = Σ_{- p}$ étant le secteur opposé. Montrer que la chaîne commençant par $M_{1}$ visite les secteurs $Σ_{- 1}, Σ_{2}, Σ_{- 3}, \dots$ , que chaque chaîne compte exactement $p$ images, et que les dernières images des deux chaînes coïncident. En déduire le nombre total d'images.

4) Construire les images pour $θ = 9 0^{\circ}$ , puis pour $θ = 6 0^{\circ}$ . Pourquoi un vrai kaléidoscope, fait de trois miroirs formant un prisme à section en triangle équilatéral, produit-il un motif qui pave tout le plan ?

5) Cas limite $θ \to 0$ : deux miroirs parallèles distants de $d$ (cabine d'ascenseur, $d = 2, 0 m$ ), objet à la distance $x$ du premier. Où sont les images ? Chaque réflexion conserve la fraction $R = 0, 90$ de l'intensité : après combien de réflexions l'image tombe-t-elle sous $10 %$ de l'intensité de l'image directe ?

6) On ne suppose plus que $36 0^{\circ} / θ$ est pair. Pour $θ = 7 2^{\circ}$ ( $36 0^{\circ} / θ = 5$ ), dénombrer les images pour un objet hors de la bissectrice, puis sur la bissectrice. Énoncer le résultat obtenu.

Corrigé

La stratégie. Chaque réflexion est une symétrie, deux réflexions font une rotation, et une règle d'arrêt dit quand une image cesse d'être réfléchie : le dénombrement devient un raisonnement sur les secteurs du plan.

1) Le lemme des deux symétries. La symétrie par rapport à une droite passant par $O$ conserve les distances à $O$ : le point image a le même rayon $ρ$ . Elle échange les deux demi-plans limités par la droite, et l'axe est la bissectrice de l'angle formé par le point et son image : si la droite a l'angle $α$ et le point l'angle $ψ$ , l'image a l'angle $ψ^{'}$ tel que $α$ soit la moyenne de $ψ$ et $ψ^{'}$ , soit $ψ^{'} = 2 α - ψ$ . Notons $S_{α}$ cette symétrie.

Composons $S_{α_{2}}$ après $S_{α_{1}}$ , avec $α_{2} - α_{1} = θ$ : $ψ ⟼ 2 α_{1} - ψ ⟼ 2 α_{2} - (2 α_{1} - ψ) = ψ + 2 (α_{2} - α_{1}) = ψ + 2 θ,$ le rayon restant $ρ$ . La composée est la rotation de centre $O$ et d'angle $2 θ$ . Dans l'ordre inverse, on obtient la rotation d'angle $- 2 θ$ .

2) Les deux chaînes. Avec $S_{1} : ψ \mapsto - ψ$ (miroir $M_{1}$ , $α = 0$ ) et $S_{2} : ψ \mapsto 2 θ - ψ$ (miroir $M_{2}$ , $α = θ$ ) :

Chaîne commençant par $M_{1}$ : $I_{1} = - φ$ , puis $I_{2} = S_{2} (I_{1}) = 2 θ + φ$ , puis $I_{3} = S_{1} (I_{2}) = - 2 θ - φ$ , puis $I_{4} = 4 θ + φ$ … En général, d'après le lemme, deux réflexions successives ajoutent une rotation : $I_{2 k} = φ + 2 k θ, I_{2 k + 1} = - φ - 2 k θ .$ Chaîne commençant par $M_{2}$ : $J_{1} = 2 θ - φ$ , puis $J_{2} = S_{1} (J_{1}) = φ - 2 θ$ , puis $J_{3} = 4 θ - φ$ … soit $J_{2 k} = φ - 2 k θ, J_{2 k + 1} = 2 (k + 1) θ - φ .$ Chaque symétrie conserve le rayon : toutes les images sont sur le cercle de centre $O$ et de rayon $ρ = O P$ .

3) La règle d'arrêt et le dénombrement. Le secteur $Σ_{j}$ est l'ensemble des points d'angle compris entre $j θ$ et $(j + 1) θ$ (modulo $36 0^{\circ}$ , avec $2 pθ = 36 0^{\circ}$ ) ; l'objet est dans $Σ_{0}$ . Comme $0 < φ < θ$ :

$I_{2 k} = φ + 2 k θ$ est dans $Σ_{2 k}$ , et $I_{2 k + 1} = - φ - 2 k θ$ dans $Σ_{- (2 k + 1)}$ : la première chaîne visite $Σ_{- 1}, Σ_{2}, Σ_{- 3}, Σ_{4}, \dots$ , la $m$ -ième image étant dans $Σ_{(- 1)^{m} m}$ ;
de même, la seconde chaîne visite $Σ_{1}, Σ_{- 2}, Σ_{3}, \dots$ , la $m$ -ième image étant dans $Σ_{(- 1)^{m + 1} m}$ .

Où les miroirs voient-ils ? Le demi-plan devant $M_{1}$ est celui des angles compris entre $0$ et $18 0^{\circ} = pθ$ : il contient $Σ_{0}, Σ_{1}, \dots, Σ_{p - 1}$ . Le demi-plan devant $M_{2}$ est celui des angles compris entre $θ - 18 0^{\circ}$ et $θ$ : il contient $Σ_{0}, Σ_{- 1}, \dots, Σ_{- (p - 1)}$ . Le secteur opposé $Σ_{p} = Σ_{- p}$ n'est devant aucun des deux miroirs : c'est le secteur « mort ».

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