Se voir en entier dans un miroir mural

Exercice · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 3 — Stigmatisme, miroir plan et approximation de Gauss

Énoncé

Une personne de taille $H = 1.70 m$ , dont les yeux sont à $1.60 m$ du sol, veut un miroir mural vertical où elle se voit en entier.

Montrer, par la symétrie et la propagation rectiligne, que la hauteur minimale du miroir est $H /2$ .

À quelle hauteur du sol placer le bord supérieur du miroir ?

Cette hauteur dépend-elle de la distance au miroir ?

Corrigé

1. Le rayon du sommet du crâne vers l'œil se réfléchit à mi-hauteur entre le crâne et les yeux ; celui des pieds se réfléchit à mi-hauteur entre les pieds et les yeux. Entre ces deux points de réflexion, la hauteur de miroir utile est exactement $H /2 = 0.85 m$ .

2. Le bord supérieur doit être à mi-hauteur entre les yeux ( $1.60 m$ ) et le sommet du crâne ( $1.70 m$ ), soit à $1.65 m$ du sol.

3. Non : les points de réflexion sont des milieux indépendants de la distance. On se voit en entier dans un miroir de $H /2$ quelle que soit la distance.

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