Se voir en entier, voir derrière soi

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 3 — Stigmatisme, miroir plan et approximation de Gauss · B. Le miroir plan

Énoncé

1) Une personne de taille $H = 1, 70 m$ , dont les yeux sont à $1, 60 m$ du sol, se tient debout face à un miroir mural vertical. Montrer, par la symétrie et la propagation rectiligne, que la hauteur minimale du miroir pour qu'elle s'y voie en entier est $H /2$ .

2) À quelles hauteurs du sol placer les bords supérieur et inférieur de ce miroir minimal ?

3) Ces hauteurs dépendent-elles de la distance au miroir ?

4) Montrer que l'ensemble des points visibles dans un miroir plan par un œil $E$ (supposé ponctuel) est le cône de sommet $E^{'}$ , image de $E$ , qui s'appuie sur le contour du miroir. Retrouver ainsi les résultats précédents.

5) Un rétroviseur intérieur plan, de largeur $L = 10 cm$ , est à $a = 50 cm$ de l'œil du conducteur (on le suppose face à l'œil). Quel est l'angle de champ horizontal ? Quelle largeur de route voit-on à $D = 20 m$ derrière le rétroviseur ?

6) Que gagnerait-on en approchant l'œil du miroir ? Pourquoi les rétroviseurs extérieurs ne sont-ils pas plans (réponse qualitative ; le miroir bombé est hors programme) ?

Corrigé

La stratégie. Un point $P$ est vu dans le miroir si un rayon issu de $P$ s'y réfléchit et atteint l'œil ; la symétrie traduit cette condition en une condition géométrique simple, d'abord pour le miroir mural, puis en général (question 4).

1) La hauteur utile vaut $H /2$ . Pour que l'œil $E$ voie le sommet du crâne $S$ , il faut un rayon $S \to I \to E$ qui se réfléchit sur le miroir en $I$ . Par le stigmatisme du miroir, le rayon réfléchi $I E$ semble venir de $S^{'}$ , symétrique de $S$ : $I$ est le point où la droite $(S^{'} E)$ traverse le miroir. Le miroir est vertical, à la distance $x$ de la personne ; $S^{'}$ est à la distance $x$ derrière le miroir, à la même hauteur que $S$ , et $E$ à la distance $x$ devant. Le point $I$ est donc le milieu du segment $[S^{'} E]$ , au moins pour sa hauteur : il est à mi-hauteur entre $S$ et $E$ . De même, le rayon venu des pieds $P$ se réfléchit en $J$ , milieu en hauteur de $P$ et $E$ . La portion de miroir utile est le segment vertical $[J, I]$ , de hauteur $h_{I} - h_{J} = \frac{h _{S} + h _{E}}{2} - \frac{h _{P} + h _{E}}{2} = \frac{h _{S} - h _{P}}{2} = \frac{H}{2} .$ Les points intermédiaires du corps se réfléchissent entre $J$ et $I$ ; un miroir qui contient $[J, I]$ suffit, et un miroir plus court en coupe une partie. La hauteur minimale est $H /2 = 0, 85 m$ .

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