L'autocollimation

Application directe du cours · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 4 — Lentilles minces dans l'approximation de Gauss

Énoncé

Une lentille convergente de focale $f^{'}$ est suivie, à la distance $a$ , d'un miroir plan perpendiculaire à l'axe. La lumière traverse la lentille, se réfléchit sur le miroir, et retraverse la lentille en sens inverse.

1) Un objet $A B$ est placé dans le plan focal objet. Montrer, par la construction (faisceaux parallèles entre la lentille et le miroir), que l'image finale $A^{'} B^{'}$ est dans le même plan que l'objet, avec $γ = - 1$ , et que ce résultat ne dépend pas de $a$ .

2) En déduire une méthode de mesure de $f^{'}$ . Que mesure-t-on, et que n'a-t-on pas besoin de connaître ?

3) Le miroir tourne d'un petit angle $ε$ . Montrer que l'image se déplace dans le plan focal de $2 ε f^{'}$ . Avec $f^{'} = 0, 50 m$ et un déplacement détectable de $10 μ m$ , quel est le plus petit angle mesurable ?

4) Pourquoi ce dispositif sert-il à vérifier qu'un objet est dans le plan focal d'une lentille, ou à régler le parallélisme de deux faces ?

Corrigé

La stratégie. Trois conjugaisons successives (lentille, miroir, lentille), mais on évite tout calcul de position en suivant des directions : un point du plan focal objet donne un faisceau parallèle, dont la direction est fixée par le rayon passant par $O$ ; le miroir plan change cette direction en sa symétrique ; la lentille, au retour, ramène le faisceau parallèle en un point du plan focal, fixé à nouveau par le rayon passant par $O$ .

1) L'image dans le plan de l'objet. Prenons $O$ pour origine, l'axe orienté vers le miroir. $B$ est dans le plan focal objet, à l'abscisse $- f^{'}$ et à la hauteur $y$ . Les rayons issus de $B$ émergent parallèles entre eux, dans la direction de $(B O)$ , qui descend de $y$ sur la distance $f^{'}$ : vecteur directeur $(1, - y / f^{'})$ . Le miroir, perpendiculaire à l'axe, change la composante axiale de signe et conserve la composante transversale : le faisceau réfléchi est parallèle, de direction $(- 1, - y / f^{'})$ . Il retraverse la lentille de droite à gauche ; pour ce sens de propagation, le plan focal image est le plan de $F$ , à l'abscisse $- f^{'}$ . Le faisceau parallèle y converge au point que fixe le rayon passant par $O$ , non dévié : parti de $O$ avec la direction $(- 1, - y / f^{'})$ , il atteint l'abscisse $- f^{'}$ à la hauteur $- y$ . L'image $B^{'}$ est dans le plan de l'objet, à la hauteur $- y$ : $γ = - 1$ , image renversée de même taille.

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