La carte des quatre natures

La stratégie. La relation de Descartes donne $\overline{O{A}^{\prime }}$ comme une fonction homographique de $\overline{OA}$ ; l'étude de cette fonction (signe, asymptotes, monotonie) range d'un coup tous les cas de figure, au lieu de les apprendre un par un.

1) Une hyperbole. De $\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}=\frac{1}{f^{\prime }}+\frac{1}{\overline{OA}}$, on tire

$$\overline{O{A}^{\prime }}=\frac{f^{\prime }\overline{OA}}{f^{\prime }+\overline{OA}}.$$

Le dénominateur s'annule pour $\overline{OA}=-f^{\prime }$ : asymptote verticale en $\overline{OA}=-f^{\prime }=-20\mathrm{cm}$, objet au foyer objet, image rejetée à l'infini. Quand $|\overline{OA}|\to \infty$, $\overline{O{A}^{\prime }}\to f^{\prime }$ : asymptote horizontale en $\overline{O{A}^{\prime }}=f^{\prime }=20\mathrm{cm}$, objet à l'infini, image au foyer image. La dérivée vaut $\frac{f^{\prime 2}}{(f^{\prime }+\overline{OA}{)}^2}>0$ : la fonction est croissante sur chacun de ses deux intervalles. La courbe est une hyperbole de centre $(-f^{\prime },f^{\prime })$, qui passe par l'origine (un objet sur la lentille est sa propre image).

2) Les zones. Objet réel : $\overline{OA}<0$ ; image réelle : $\overline{O{A}^{\prime }}>0$ ; $\gamma =\overline{O{A}^{\prime }}/\overline{OA}$.

• Objet réel au-delà de $F$ ($\overline{OA}<-f^{\prime }$) : $\overline{O{A}^{\prime }}>f^{\prime }>0$, image réelle, $\gamma <0$ (renversée) ; c'est le domaine du projecteur et de l'appareil photographique.
• Objet réel entre $F$ et $O$ ($-f^{\prime }<\overline{OA}<0$) : $\overline{O{A}^{\prime }}<0$, image virtuelle, $\gamma >1$ (droite, agrandie) ; c'est la loupe.
• Objet virtuel ($\overline{OA}>0$) : image réelle, $0<\gamma <1$ (question 3).
• Image virtuelle d'un objet virtuel : aucune zone de la courbe ; une convergente ne la produit jamais.