La divergente qui donne une image réelle : le téléobjectif

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 4 — Lentilles minces dans l'approximation de Gauss · B. Construction de l'image

Énoncé

1) Montrer qu'une lentille divergente de focale $f_{2}^{'} < 0$ donne d'un objet $A$ une image réelle si et seulement si l'objet est virtuel et situé entre $O$ et le foyer objet $F$ , soit $0 < O A < - f_{2}^{'}$ . Montrer qu'alors l'image est droite et agrandie. Que donne la divergente d'un objet réel ?

2) Construire pas à pas l'image d'un tel objet pour $f_{2}^{'} = - 10 cm$ et $O A = + 5 cm$ , et vérifier par le calcul.

3) Téléobjectif (deux lentilles, traitées par deux conjugaisons successives). Une convergente $L_{1}$ ( $f_{1}^{'} = 20 cm$ ) vise un objet à l'infini vu sous l'angle $α$ ; la divergente $L_{2}$ ( $f_{2}^{'} = - 10 cm$ ) est placée à $e = 15 cm$ derrière $L_{1}$ . Où se forme l'image finale ? Quelle est sa taille ? En déduire la focale de la lentille unique qui donnerait la même image d'un objet à l'infini, et comparer à l'encombrement (distance de $L_{1}$ au capteur).

Corrigé

La stratégie. On étudie le signe de $O A^{'}$ donné par Descartes, en tenant compte de $f_{2}^{'} < 0$ ; la construction adapte les trois rayons à la divergente (foyers virtuels, $F^{'}$ en amont, $F$ en aval) ; le téléobjectif enchaîne deux conjugaisons, l'image intermédiaire jouant le rôle d'objet virtuel pour la divergente.

1) La condition. $O A^{'} = \frac{f _{2}^{'} O A}{f _{2}^{'} + O A}$ avec $f_{2}^{'} < 0$ .

Objet réel ( $O A < 0$ ) : numérateur positif, dénominateur $f_{2}^{'} + O A < 0$ ; donc $O A^{'} < 0$ : image virtuelle, toujours ; et $γ = \frac{f _{2}^{'}}{f _{2}^{'} + O A} \in] 0, 1 [$ : droite et réduite (le judas de porte).
Objet virtuel ( $O A > 0$ ) : numérateur négatif ; l'image est réelle si et seulement si le dénominateur est négatif, $O A < - f_{2}^{'} = ∣ f_{2}^{'} ∣$ , c'est-à-dire si $A$ est entre $O$ et $F$ (situé en aval, à $∣ f_{2}^{'} ∣$ ). Alors $γ = \frac{f _{2}^{'}}{f _{2}^{'} + O A} = \frac{∣ f _{2}^{'} ∣}{∣ f _{2}^{'} ∣ - O A} > 1$ : image réelle, droite et agrandie.

C'est la seule façon d'obtenir une image réelle avec une divergente : intercepter un faisceau convergent assez près de son point de convergence.

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