Le plan focal : tout rayon, et la focale qui convertit un angle

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 4 — Lentilles minces dans l'approximation de Gauss · A. Centre optique, foyers, distance focale, vergence

Énoncé

1) Une lentille convergente de foyers $F$ et $F^{'}$ reçoit un rayon incident quelconque, non parallèle à l'axe et ne passant ni par $O$ ni par $F$ . Construire le rayon émergent en justifiant chaque étape (rayon auxiliaire parallèle passant par $O$ , foyer image secondaire). Proposer une seconde construction utilisant le plan focal objet.

2) Même question pour une lentille divergente (on prendra garde à la position de $F^{'}$ ).

3) Montrer qu'un faisceau parallèle incliné d'un petit angle $α$ sur l'axe converge en un point du plan focal image situé à la distance $f^{'} α$ de l'axe. Le Soleil a un diamètre apparent de $0, 5 3^{\circ}$ : quel est le diamètre de son image par une lentille de focale $f^{'} = 1, 00 m$ ?

4) Phare. Une lampe est placée au foyer objet d'une lentille de Fresnel de focale $f^{'} = 0, 50 m$ . Montrer qu'un point de la lampe situé à la distance $y$ de l'axe, dans le plan focal objet, donne un faisceau parallèle incliné de $y / f^{'}$ sur l'axe. Le filament mesure $1, 0 cm$ : quelle est la divergence du faisceau, et sa largeur à $20 km$ ? Que se passe-t-il si l'on écarte la lampe du foyer ?

Corrigé

La stratégie. Un rayon quelconque n'est pas l'un des trois rayons utiles ; on le relie à eux par la propriété des foyers secondaires : des rayons parallèles entre eux convergent en un même point du plan focal image, et des rayons issus d'un même point du plan focal objet émergent parallèles entre eux. Il suffit donc de trouver, dans la famille du rayon étudié, un rayon dont on connaît l'émergent : celui qui passe par $O$ .

1) Convergente, deux constructions. Première construction, par le plan focal image. On trace le rayon auxiliaire parallèle au rayon incident et passant par $O$ ; il n'est pas dévié. Il coupe le plan focal image (le plan perpendiculaire à l'axe passant par $F^{'}$ ) en un point $Φ^{'}$ , foyer image secondaire. Le rayon incident et le rayon auxiliaire sont parallèles : ils émergent en convergeant au même point du plan focal image. Le rayon émergent est donc la droite qui joint le point d'incidence sur la lentille à $Φ^{'}$ .

Seconde construction, par le plan focal objet. Le rayon incident coupe le plan focal objet (perpendiculaire à l'axe en $F$ ) en un point $Φ$ . Tous les rayons issus de $Φ$ émergent parallèles entre eux ; parmi eux, le rayon $Φ O$ n'est pas dévié. Le rayon émergent est donc la parallèle à $(Φ O)$ menée par le point d'incidence. Les deux constructions donnent la même droite, ce qui est un bon contrôle sur une copie.

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