Lentilles accolées, puis séparées

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 4 — Lentilles minces dans l'approximation de Gauss · A. Centre optique, foyers, distance focale, vergence

Énoncé

1) Deux lentilles minces de vergences $V_{1}$ et $V_{2}$ sont accolées (même centre $O$ ). Par deux conjugaisons de Descartes successives, montrer que l'ensemble se comporte comme une lentille de vergence $V = V_{1} + V_{2}$ .

2) Interpréter le signe de $V$ pour une convergente accolée à une divergente.

3) Pour mesurer la focale d'une lentille divergente, on l'accole à une convergente de vergence $V_{1} = + 10 δ$ ; l'ensemble se comporte comme une convergente de focale $25 cm$ . Vergence et focale de la divergente ?

4) Les deux lentilles sont en fait séparées de $e$ . On admet que la vergence d'un système centré se lit sur un rayon incident parallèle à l'axe, à la hauteur $h$ : s'il émerge avec l'inclinaison $u^{'}$ , alors $V = - u^{'} / h$ . Montrer d'abord, par la construction du foyer secondaire, qu'une lentille mince change l'inclinaison $u$ d'un rayon atteignant la lentille à la hauteur $y$ en $u^{'} = u - y V$ (conditions de Gauss). En déduire que $V = V_{1} + V_{2} - e V_{1} V_{2}$ .

5) Avec $e = 5 mm$ et les vergences de la question 3, quelle est la vergence réelle de l'ensemble ? Quelle erreur relative un expérimentateur commet-il sur $V_{2}$ s'il mesure cette vergence en croyant les lentilles accolées ?

Corrigé

La stratégie. L'association n'est pas un instrument du programme : on la traite comme deux lentilles successives, l'image par la première servant d'objet à la seconde. Accolées, les deux relations de Descartes ont la même origine et s'additionnent. Séparées, on suit un rayon, ce qui exige d'abord la règle de déviation d'une lentille mince.

1) Accolées, les vergences s'ajoutent. Soit $A$ un point de l'axe et $A_{1}$ son image par la première lentille : $\frac{1}{O A _{1}} - \frac{1}{O A} = V_{1}$ . $A_{1}$ sert d'objet (réel ou virtuel) à la seconde lentille, de même centre $O$ , qui en donne $A^{'}$ : $\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A _{1}} = V_{2}$ . En additionnant membre à membre, $O A_{1}$ disparaît : $\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = V_{1} + V_{2} .$ C'est la relation de Descartes d'une lentille unique de vergence $V = V_{1} + V_{2}$ , pour tout objet. Le point délicat : on a utilisé que $A_{1}$ peut être un objet virtuel pour la seconde lentille, ce qui est le cas général quand les lentilles sont accolées ; la relation de conjugaison vaut pour un objet virtuel comme pour un objet réel.

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