Newton et le grandissement longitudinal

La stratégie. Les triangles semblables de la construction donnent directement le grandissement exprimé depuis les foyers ; en égalant les deux expressions, on obtient Newton sans passer par Descartes. On dérive ensuite la relation de Newton, plus simple que celle de Descartes parce que $\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}$ y est l'inverse de $\overline{FA}$.

1) Les triangles semblables. Notons $I$ le point où le rayon parallèle à l'axe issu de $B$ frappe la lentille ($\overline{OI}=\overline{AB}$) et $J$ celui où le rayon issu de $B$ passant par $F$ la frappe ($\overline{OJ}=\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$, puisqu'il émerge parallèle à l'axe et passe par $B^{\prime }$).

Côté objet : les triangles $FAB$ et $FOJ$ ont le sommet $F$ commun et des côtés $AB$ et $OJ$ parallèles (perpendiculaires à l'axe). Par Thalès, $\frac{\overline{OJ}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{FO}}{\overline{FA}}$, d'où, avec $\overline{OJ}=\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ et $\overline{FO}=f^{\prime }$ : $$\gamma =\frac{\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overline{AB}}=\frac{f^{\prime }}{\overline{FA}}.$$ Côté image : les triangles $F^{\prime }OI$ et $F^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ ont le sommet $F^{\prime }$ commun et des côtés parallèles : $\frac{\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overline{OI}}=\frac{\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}}{\overline{F^{\prime }O}}$, d'où, avec $\overline{OI}=\overline{AB}$ et $\overline{F^{\prime }O}=-f^{\prime }$ : $$\gamma =-\frac{\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}}{f^{\prime }}.$$ En égalant : $\frac{f^{\prime }}{\overline{FA}}=-\frac{\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}}{f^{\prime }}$, soit $\overline{FA}\cdot \overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=-f^{\prime 2}$. Les mesures algébriques rendent la démonstration valable pour toutes les positions, image réelle ou virtuelle.