Problème : la méthode de Bessel

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 4 — Lentilles minces dans l'approximation de Gauss · D. Condition de formation d'une image réelle

Énoncé

Sur un banc d'optique, un objet lumineux et un écran sont fixes, distants de $D$ . On déplace entre eux une lentille convergente de focale $f^{'}$ inconnue, et l'on cherche les positions donnant une image nette sur l'écran. On pose $x = - O A > 0$ , distance de l'objet à la lentille.

1) Montrer que les positions donnant une image nette vérifient $x^{2} - D x + D f^{'} = 0$ .

2) En déduire qu'une image réelle d'un objet réel n'existe que si $D \geq 4 f^{'}$ (on établit ainsi la condition par le discriminant, sans dérivée). Que se passe-t-il pour une lentille divergente ?

3) On suppose $D > 4 f^{'}$ . Montrer que les deux solutions vérifient $x_{1} + x_{2} = D$ ; interpréter à l'aide du principe du retour inverse de la lumière.

4) On note $d = x_{2} - x_{1}$ la distance entre les deux positions. Établir la formule de Bessel $f^{'} = \frac{D ^{2} - d ^{2}}{4 D}$ et la relation $γ_{1} γ_{2} = 1$ entre les grandissements dans les deux positions. En déduire que la taille de l'objet est $∣ y_{1} y_{2} ∣$ , où $y_{1}$ et $y_{2}$ sont les tailles des deux images.

5) Application : $D = 1, 00 m$ , $d = 20 cm$ . Calculer $f^{'}$ , les deux positions et les deux grandissements. Avec les incertitudes-types $u (D) = 2 mm$ et $u (d) = 4 mm$ , évaluer $u (f^{'})$ . Pourquoi la position exacte du centre de la lentille n'intervient-elle pas ?

6) Cas limites : $d \to 0$ (méthode de Silbermann) ; $D ≫ f^{'}$ . Vérifier l'homogénéité de la formule. Énoncer le résultat obtenu.

Corrigé

La stratégie. La condition de netteté est une équation du second degré en la position de la lentille : l'existence d'une solution réelle est une condition sur le discriminant, et ce sont les relations entre coefficients et racines (somme et produit) qui livrent la symétrie des deux positions puis la formule de Bessel. Le problème n'utilise que la relation de Descartes, le grandissement et le retour inverse.

1) L'équation de la netteté. L'objet est réel, à la distance $x$ en amont : $O A = - x$ . L'écran est à la distance $D$ de l'objet, donc à $D - x$ en aval de la lentille : pour une image nette sur l'écran, il faut $O A^{'} = D - x > 0$ . Descartes s'écrit $\frac{1}{D - x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{f ^{'}} ⟺ \frac{x + ( D - x )}{x ( D - x )} = \frac{1}{f ^{'}} ⟺ D f^{'} = x (D - x),$ soit $x^{2} - D x + D f^{'} = 0.$

2) La condition d'existence. Le discriminant vaut $Δ = D^{2} - 4 D f^{'} = D (D - 4 f^{'})$ . Comme $D > 0$ , l'équation a des solutions réelles si et seulement si $D \geq 4 f^{'}$ . Il faut encore vérifier que ces solutions sont acceptables, c'est-à-dire comprises entre $0$ et $D$ (lentille entre l'objet et l'écran) : leur produit vaut $D f^{'} > 0$ et leur somme $D > 0$ , donc elles sont toutes deux positives, et chacune est inférieure à $D$ puisque l'autre est positive. Une image réelle d'un objet réel, à la distance $D$ , existe si et seulement si $D \geq 4 f^{'}$ . Pour $D < 4 f^{'}$ , on a beau déplacer la lentille, l'écran ne reçoit jamais d'image nette. Divergente : $f^{'} < 0$ , le produit $D f^{'}$ est négatif, l'une des racines est négative et l'autre supérieure à $D$ : aucune position entre l'objet et l'écran ne convient. Une divergente ne donne jamais d'image réelle d'un objet réel (exercice 3).

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