Dispersion : loi de Cauchy et constringence

La stratégie. Un modèle à deux paramètres s'ajuste sur deux mesures ; il ne prouve rien tant qu'il n'a pas prédit une troisième mesure qu'on n'a pas utilisée. C'est la démarche qu'on applique ici : ajuster sur $F$ et $C$, tester sur $D$.

1) Dimension et vitesse. $n$ est sans dimension, donc $B/{\lambda }_0^2$ aussi : $B$ est homogène à une longueur au carré (on l'exprimera en ${\mathrm{m}}^2$ ou en $\mu {\mathrm{m}}^2$). Comme $B>0$ (les données montrent que $n$ décroît quand ${\lambda }_0$ croît), le bleu a l'indice le plus grand ; or $v=c/n$ : dans le verre, le rouge va le plus vite et le bleu le moins vite. C'est l'origine de la décomposition de la lumière blanche par un prisme : le bleu, plus dévié, sort de son côté.

2) Ajustement sur $F$ et $C$. On écrit les deux équations $n_F=A+B/{\lambda }_F^2$ et $n_C=A+B/{\lambda }_C^2$, et l'on soustrait : $$B=\frac{n_F-n_C}{\frac{1}{{\lambda }_F^2}-\frac{1}{{\lambda }_C^2}}=\frac{0,00806}{4,2316\times 10^{12}-2,3219\times 10^{12}}=4,22\times 10^{-15}{\mathrm{m}}^2=4,22\times 10^{-3}\mu {\mathrm{m}}^2,$$ puis $A=n_F-B/{\lambda }_F^2=1,52238-0,01786=1,5045$.

3) Le test sur la raie $D$. Le modèle prédit $$n_D^{\text{modeˋle}}=A+\frac{B}{{\lambda }_D^2}=1,5045+\frac{4,22\times 10^{-15}}{(589,29\times 10^{-9}{)}^2}=1,51667,$$ contre $1,51680$ au catalogue : l'écart vaut $1,3\times 10^{-4}$, soit moins de $1,6\%$ de la variation totale $n_F-n_C=8,1\times 10^{-3}$. Pour le F2, le même calcul donne $A=1,5943$, $B=8,93\times 10^{-3}\mu {\mathrm{m}}^2$ et $n_D^{\text{modeˋle}}=1,62001$, à $3\times 10^{-5}$ du catalogue. Le modèle passe le test sur tout le visible, à la quatrième décimale près. Un ajustement par moindres carrés sur les trois raies (script ci-dessous, non exigé) donne des paramètres très voisins, avec des résidus inférieurs à $10^{-4}$ :

import numpy as np
lam = np.array([486.13e-9, 589.29e-9, 656.27e-9])  # F, D, C
n_bk7 = np.array([1.52238, 1.51680, 1.51432])
B, A = np.polyfit(1 / lam**2, n_bk7, 1)   # droite en 1/lam^2
print(A, B, n_bk7 - (A + B / lam**2))

Il affiche $A=1,50462$, $B=4,20\times 10^{-15}{\mathrm{m}}^2$ et des résidus de $-2\times 10^{-5}$, $+8\times 10^{-5}$ et $-6\times 10^{-5}$. L'idée du script est celle du graphique : en fonction de $1/{\lambda }_0^2$, la loi de Cauchy est une droite.

4) La constringence. Pour le BK7 : $$V=\frac{1,51680-1}{1,52238-1,51432}=\frac{0,51680}{0,00806}=64,1;$$ pour le F2 : $$V=\frac{0,62004}{0,01705}=36,4.$$ Plus $V$ est petit, plus l'écart d'indice entre bleu et rouge est grand relativement à la réfringence moyenne : le flint est le plus dispersif, environ deux fois plus que le crown. Un opticien a besoin des deux pour corriger le chromatisme : une lentille convergente en crown et une lentille divergente en flint, accolées, peuvent avoir des dispersions qui se compensent alors que leurs vergences ne se compensent pas ; c'est le doublet achromatique, cœur de tous les objectifs.

5) Cas limite et validité. Quand ${\lambda }_0\to \infty$, $n\to A=1,50$ : le modèle prédit un indice qui tend vers une constante dans l'infrarouge, ce qui est qualitativement correct dans le proche infrarouge. Dans l'autre sens, $B/{\lambda }_0^2$ croît sans limite quand ${\lambda }_0\to 0$ ; le modèle prédit $1,61$ à $200$ nm, et ne connaît aucun phénomène particulier. Or le verre devient opaque dans l'ultraviolet : il absorbe, et l'indice y varie de façon bien plus violente. La loi de Cauchy est un développement valable loin des bandes d'absorption du matériau ; elle cesse de valoir à l'approche de l'ultraviolet, où il faut un modèle qui tienne compte de l'absorption (hors programme).

Ce que l'exercice installe. Un milieu dispersif a un indice qui dépend de ${\lambda }_0$, et la dispersion se mesure par un nombre, la constringence ; elle explique la décomposition de la lumière par un prisme et par les gouttes de pluie (TD du chapitre suivant) et les aberrations chromatiques des lentilles. Et la méthode — ajuster sur deux points, tester sur un troisième, connaître le domaine de validité — est celle de toute modélisation physique.