Éclipses : la longueur du cône d'ombre

La stratégie. Tout repose sur la propagation rectiligne : une zone est dans l'ombre si aucun rayon issu de la source ne l'atteint, dans la pénombre si une partie seulement des points de la source l'éclairent. Les frontières sont donc tracées par des rayons limites — tangents à la fois à la source et à l'obstacle — et les longueurs se calculent par des triangles semblables (Thalès).

1) Source ponctuelle : une ombre nette. Les rayons issus du point source $S$ et tangents à la Lune forment un cône de sommet $S$ ; derrière la Lune, l'intérieur de ce cône ne reçoit aucun rayon. En tout point de l'espace, la question « un rayon issu de $S$ arrive-t-il ici ? » a une réponse par oui ou par non : il n'y a que deux zones, éclairée et sombre, et la frontière est nette. Ce cône d'ombre s'élargit indéfiniment derrière l'obstacle.

2) Source étendue : ombre et pénombre, la construction. On trace, dans le plan de la figure, quatre rayons limites :

• les deux rayons qui joignent le bord supérieur du Soleil au bord supérieur de la Lune, et le bord inférieur au bord inférieur (tangentes « extérieures ») : ils se croisent sur l'axe en un point $C$ derrière la Lune ; entre eux, derrière la Lune, se trouve un cône qui ne reçoit de lumière d'aucun point du Soleil : c'est l'ombre ;
• les deux rayons qui joignent le bord supérieur du Soleil au bord inférieur de la Lune, et le bord inférieur au bord supérieur (tangentes « intérieures ») : ils se croisent entre le Soleil et la Lune, puis s'écartent ; la région comprise entre ces rayons et le cône d'ombre reçoit la lumière d'une partie du Soleil seulement : c'est la pénombre.

Au-delà, on est en pleine lumière. Un observateur dans l'ombre ne voit aucun point du Soleil : éclipse totale. Dans la pénombre, il voit le Soleil partiellement masqué : éclipse partielle. Au-delà du sommet $C$ du cône d'ombre, sur l'axe, il voit la Lune entièrement à l'intérieur du disque solaire : éclipse annulaire. C'est exactement la figure « ombre et pénombre » du cours, et sa construction est celle qu'on vient de décrire.

3) La longueur du cône d'ombre. Considérons la tangente extérieure supérieure : elle passe au bord du Soleil, à la distance $R_S$ de l'axe, puis au bord de la Lune, à la distance $R_L$, et coupe l'axe en $C$. Les triangles formés par l'axe, ce rayon et les deux rayons perpendiculaires (au Soleil et à la Lune) sont semblables, de sommet commun $C$ : en notant $L$ la distance de la Lune à $C$, $$\frac{R_L}{L}=\frac{R_S}{L+d}⟺R_L(L+d)=R_{S}L⟺L=d\frac{R_L}{R_S-R_L}.$$ Avec $d=D_S-384400\mathrm{km}=1,4956\times 10^8$ km : $$L=1,4956\times 10^8\times \frac{1737}{6,96\times 10^5-1737}=3,73\times 10^5\mathrm{km}.$$ (La variation de $d$ entre périgée et apogée ne change $L$ que d'une centaine de kilomètres.) Homogénéité : une longueur multipliée par un rapport de longueurs. Lecture : $L/d\approx R_L/R_S=1/400$ ; le cône d'ombre est un cône extrêmement effilé, de demi-angle $R_S/D_S\approx 4,7\times 10^{-3}$ rad, c'est-à-dire le demi-diamètre apparent du Soleil.

4) Totale ou annulaire. L'observateur le plus favorisé est sous la Lune, à la distance $x=d_{TL}-R_T$ de celle-ci :

Le résultat est remarquable : le cône d'ombre de la Lune a presque exactement la longueur de la distance Terre-Lune. Au périgée, il atteint le sol de justesse et l'éclipse est totale ; à la distance moyenne et à l'apogée, son sommet s'arrête avant la Terre, et l'éclipse centrale est annulaire. Les éclipses annulaires sont d'ailleurs un peu plus fréquentes que les totales.

5) La même condition, vue par l'observateur. L'observateur est dans l'ombre si et seulement s'il est entre la Lune et le point $C$, c'est-à-dire si, de là où il est, le disque de la Lune déborde le disque du Soleil : son diamètre apparent $2R_L/x$ dépasse celui du Soleil $2R_S/(x+d)$. Or $$\frac{2R_L}{x}>\frac{2R_S}{x+d}⟺R_L(x+d)>R_{S}x⟺x<d\frac{R_L}{R_S-R_L}=L.$$ C'est la condition du 4). Numériquement, au périgée, la Lune sous-tend $2\times 1737/350129=9,92\times 10^{-3}$ rad, soit $34,1^{\prime }$, contre $32,0^{\prime }$ pour le Soleil : totale. À l'apogée, $29,8^{\prime }$ contre $32,0^{\prime }$ : annulaire. Le point délicat : la construction des rayons limites (point de vue de la source) et la comparaison des diamètres apparents (point de vue de l'observateur) sont deux lectures de la même géométrie ; c'est le principe du retour inverse qui permet de passer de l'une à l'autre (exercice 9).

6) La bande de totalité. À la distance $x$ de la Lune, le diamètre du cône d'ombre vaut, par Thalès depuis le sommet $C$, $$\varphi =2R_L\left(1-\frac{x}{L}\right)=2\times 1737\times \left(1-\frac{350129}{373500}\right)\approx 2,2\times 10^2\mathrm{km}.$$ L'ombre ne couvre donc qu'une tache d'environ deux cents kilomètres (un peu plus sur le sol, que l'axe frappe obliquement). La Terre tourne et la Lune avance : cette tache balaie une bande de quelques centaines de kilomètres de large, la seule d'où l'éclipse est totale. Pour la pénombre, les tangentes intérieures se croisent à la distance $d{R}_L/(R_S+R_L)$ en avant de la Lune, et l'on trouve de même un diamètre $${\varphi }^{\prime }=2R_L\left(1+\frac{x}{d{R}_L/(R_S+R_L)}\right)\approx 6,7\times 10^3\mathrm{km},$$ de l'ordre du rayon terrestre : une éclipse partielle est visible depuis une large part de l'hémisphère éclairé.

Ce que l'exercice installe. La construction par rayons limites : pour délimiter une zone, on trace les rayons qui touchent à la fois le bord de la source et le bord de l'obstacle, puis on calcule par triangles semblables. C'est la même construction qui donnera le champ d'un instrument (exercice 9) et la profondeur de champ d'un appareil photographique (chapitre sur les instruments). Et l'équivalence entre « être dans l'ombre » et « voir la Lune plus grosse que le Soleil » est le premier exemple d'une question d'éclairage traduite en question de vision.