L'indice de l'air

La stratégie. « L'indice de l'air vaut $1$ » est une approximation, pas une valeur. On en mesure l'écart : il est de quelques $10^{-4}$, il dépend de l'état du gaz, et il suffit à fausser une mesure de précision ou à courber un rayon.

1) $n-1$ proportionnel à $P/T$. Pour un gaz parfait de masse molaire $M$, $PV=\frac{m}{M}RT$, donc $\rho =\frac{m}{V}=\frac{MP}{RT}$. La loi de Gladstone-Dale $n-1=K\rho$ donne $$n-1=\frac{KM}{R}\frac{P}{T}\text{donc}n-1=(n_0-1)\frac{P}{P_0}\frac{T_0}{T}.$$ À $20^{\circ }$C sous $P_0$ : $$n_{20}-1=2,93\times 10^{-4}\times \frac{273,15}{293,15}=2,73\times 10^{-4}.$$ Quand $P\to 0$, $\rho \to 0$ et $n\to 1$ : le gaz raréfié tend vers le vide, d'indice exactement $1$. Comme $\rho \ge 0$ et que la constante de Gladstone-Dale est positive pour les gaz transparents dans le visible, $n-1\ge 0$ : la lumière ne va jamais plus vite dans le gaz que dans le vide, ce qui est la condition $n=c/v\ge 1$ du cours, retrouvée sur cet exemple.

2) L'erreur du télémètre. La lumière parcourt l'aller-retour $2L$ à la vitesse $c/n$, en la durée $\Delta t=2nL/c$. Le télémètre, qui suppose la vitesse $c$, affiche $$L_{\text{mes}}=\frac{c\Delta t}{2}=nL.$$ Il mesure donc le chemin optique $nL$ (exercice 6), et non la longueur. L'erreur vaut $$L_{\text{mes}}-L=(n-1)L=2,73\times 10^{-4}\times 1000\mathrm{m}=0,27\mathrm{m},$$ par excès : la distance est surestimée de 27 cm. Un télémètre de géomètre corrige donc systématiquement l'indice à partir de la pression et de la température mesurées.

3) La sensibilité à la température. En dérivant $n-1=(n_0-1)\frac{P}{P_0}\frac{T_0}{T}$ par rapport à $T$ à pression fixée : $$\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}T}=-\frac{n-1}{T}=-\frac{2,73\times 10^{-4}}{293}=-9,3\times 10^{-7}{\mathrm{K}}^{-1}.$$ Sur $1$ km, un kelvin d'erreur sur la température moyenne change la distance affichée de $9,3\times 10^{-7}\times 1000$ m, soit $0,93$ mm. Pour viser le millimètre, il faut connaître la température moyenne le long du trajet à mieux d'un kelvin — c'est la vraie limite des télémètres de terrain, bien plus que l'électronique.

4) Le gradient au-dessus d'une route chaude. À pression fixée, $n-1$ varie comme $1/T$ : $$n_{30}-1=2,93\times 10^{-4}\times \frac{273,15}{303,15}=2,640\times 10^{-4},$$ $$n_{60}-1=2,93\times 10^{-4}\times \frac{273,15}{333,15}=2,402\times 10^{-4},$$ $$\Delta n=n_{30}-n_{60}\approx 2,4\times 10^{-5}.$$ L'air le plus chaud, au ras du sol, est le moins dense, donc le moins réfringent : l'indice croît avec l'altitude. L'écart est minuscule, deux unités au cinquième chiffre ; on verra au chapitre suivant qu'il suffit à renvoyer vers l'œil des rayons venus du ciel, sous un angle d'environ $0,4^{\circ }$ — c'est le mirage.

Ce que l'exercice installe. $n-1$ est la grandeur physique, pas $n$ : il est proportionnel à la densité du milieu, il tend vers zéro avec elle, il est positif. Un appareil qui mesure un temps de vol mesure un chemin optique. Et un écart d'indice de $10^{-5}$, négligeable pour une lentille, ne l'est plus sur des centaines de mètres : l'ordre de grandeur d'un effet dépend de la longueur sur laquelle il s'accumule — c'est le même ressort que chez Rømer.