Problème : le sténopé optimal (Rayleigh)

La stratégie. Deux effets se disputent la netteté de l'image : la propagation rectiligne veut un trou petit (chaque point de l'objet n'éclaire qu'une petite tache), la diffraction veut un trou grand (une petite ouverture étale la lumière). Chacun donne un flou qui varie en sens contraire avec $d$ ; on écrit leur somme et l'on cherche le minimum. C'est la même structure qu'à l'exercice 3 : deux effets antagonistes, un optimum.

1) L'image géométrique, renversée. Chaque point $B$ de l'objet n'envoie dans la boîte que le rayon qui passe par le trou $O$ (trou ponctuel) ; ce rayon est une droite, qui coupe l'écran en un point $B^{\prime }$. Les points $B$, $O$, $B^{\prime }$ sont alignés, $O$ entre les deux : le haut de l'objet donne le bas de l'image, la gauche donne la droite. L'image est renversée. Pour un objet de hauteur $H$ à la distance $p$, les triangles de sommet commun $O$ sont semblables (Thalès), et l'image a la hauteur $HD/p$, de sens opposé : le grandissement algébrique vaut $$\gamma =-\frac{D}{p}.$$ Pour l'arbre : $h=6,0\times \frac{0,20}{30}=4,0$ cm. Pour le Soleil, l'image a le diamètre angulaire de l'objet vu du trou, multiplié par la distance trou-écran : $${\varphi }_{\odot }=D{\alpha }_{\odot }=0,20\times 9,3\times 10^{-3}=1,9\mathrm{mm}.$$ Les taches de soleil : chaque petite trouée du feuillage est un sténopé, et le sol est son écran, à $5$ m. Tant que la trouée est petite devant l'image qu'elle produit, la tache au sol est l'image du Soleil, pas l'ombre de la trouée : un disque de diamètre $5\times 9,3\times 10^{-3}=4,7$ cm, rond quelle que soit la forme du trou. Pendant une éclipse partielle, toutes ces taches deviennent des croissants : c'est la preuve la plus spectaculaire qu'il s'agit d'images.

2) Le flou géométrique. Un point à l'infini envoie un faisceau de rayons parallèles ; le trou de diamètre $d$ en laisse passer un cylindre de diamètre $d$, qui frappe l'écran en une tache de diamètre $d$. Pour un point $B$ à distance finie $p$, les rayons issus de $B$ qui passent par le trou forment un cône de sommet $B$ ; sur l'écran, à la distance $p+D$ de $B$, ce cône a le diamètre (Thalès) $d\frac{p+D}{p}=d\left(1+\frac{D}{p}\right)$. Dans les deux cas, le flou géométrique est proportionnel à $d$ : réduire le trou affine l'image. C'est la discussion qualitative du cours, rendue quantitative.

3) Le flou de diffraction. Le trou est maintenant traversé par un faisceau parallèle qui s'étale dans un cône de demi-angle $\theta \approx \lambda /d$. Sur l'écran, à la distance $D$, la lumière se répartit sur une largeur $$\approx 2D\theta =\frac{2\lambda D}{d}.$$ Le flou de diffraction est inversement proportionnel à $d$ : réduire le trou dégrade l'image. Ordre de grandeur : pour $d=0,1$ mm, il vaut déjà $2,2$ mm, plus que l'image du Soleil ; pour $d=2$ mm, il ne vaut que $0,11$ mm, mais le flou géométrique vaut alors $2$ mm. Aucun des deux trous n'est bon.

4) Le diamètre optimal. On étudie $s(d)=d+\frac{2\lambda D}{d}$ sur $]0,+\infty [$. Sa dérivée $$s^{\prime }(d)=1-\frac{2\lambda D}{d^2}$$ est négative pour $d<\sqrt{2\lambda D}$ et positive ensuite : $s$ est minimale en $$d^{\ast }=\sqrt{2\lambda D}=\sqrt{2\times 550\times 10^{-9}\times 0,20}=4,7\times 10^{-4}\mathrm{m}=0,47\mathrm{mm}.$$ À l'optimum, les deux flous sont égaux : $d^{\ast }=2\lambda D/d^{\ast }$, et $$s_{\min }=2d^{\ast }=2\sqrt{2\lambda D}=0,94\mathrm{mm}.$$ (Une minimisation numérique de $s$ redonne $d^{\ast }=0,469$ mm et $s_{\min }=0,938$ mm.) Rayleigh obtient $d_R=1,9\sqrt{\lambda D}=0,63$ mm. Les deux résultats diffèrent par le préfacteur ($\sqrt{2}\approx 1,4$ contre $1,9$), qui dépend de la façon dont on définit la largeur d'une tache et dont on additionne deux flous ; ils ont la même loi d'échelle, $d^{\ast }\propto \sqrt{\lambda D}$, et le même ordre de grandeur, le demi-millimètre. C'est la loi d'échelle qui est le résultat physique ; le préfacteur est affaire de critère.

5) Ce que vaut un sténopé. La résolution angulaire est la taille de la tache vue depuis le trou : $$\frac{s_{\min }}{D}=2\sqrt{\frac{2\lambda }{D}}=\frac{0,94\times 10^{-3}}{0,20}=4,7\times 10^{-3}\mathrm{rad}\approx 16^{\prime }.$$ C'est seize fois moins bien que l'œil, qui sépare une minute d'arc. Et l'image du Soleil, $1,9$ mm, n'est que deux fois plus large que la tache de $0,94$ mm : on devine un disque, sans aucun détail. Le nombre d'ouverture vaut $$\frac{D}{d^{\ast }}=\frac{0,20}{4,7\times 10^{-4}}\approx 430,$$ quand un objectif photographique ouvre couramment entre $2$ et $16$. La lumière qui entre dans la boîte est proportionnelle à l'aire du trou ; à $430$ au lieu de $8$, elle est environ $(430/8{)}^2\approx 2900$ fois plus faible : une photographie au sténopé qui demanderait un centième de seconde avec un objectif demande une demi-minute. C'est pourquoi les poses au sténopé durent des secondes, voire des heures (on y reviendra au chapitre sur les instruments, avec le diaphragme et la durée d'exposition).

6) Homogénéité, cas limites, et le résultat. Homogénéité : $\lambda D$ est le produit de deux longueurs, sa racine est une longueur ; $d^{\ast }$ est bien un diamètre. Limite $\lambda \to 0$ : $d^{\ast }\to 0$ et $s_{\min }\to 0$ ; sans diffraction, c'est-à-dire dans le modèle de l'optique géométrique pur, un trou infiniment fin donnerait une image parfaite — ce qui montre que c'est bien la diffraction, limite du modèle, qui interdit au sténopé d'être un instrument parfait. Profondeur de la boîte : la résolution angulaire $2\sqrt{2\lambda /D}$ décroît comme $D^{-1/2}$ ; allonger la boîte d'un facteur quatre ne divise le flou angulaire que par deux. Une boîte d'un mètre résout encore à peine sept minutes d'arc, pour une image cinq fois plus sombre par unité de surface (l'aire du trou optimal croît comme $D$, l'éclairement de l'écran décroît donc comme $1/D$). Le sténopé ne peut pas rivaliser avec l'œil : pour concentrer la lumière d'un point en une tache petite et ouvrir grand, il faut un objet qui dévie les rayons, une lentille — c'est le programme des chapitres suivants.

Le résultat obtenu — diamètre optimal du sténopé (Rayleigh, 1891). Le flou géométrique d'un sténopé est proportionnel au diamètre $d$ du trou, son flou de diffraction lui est inversement proportionnel ; leur somme est minimale pour un diamètre $d^{\ast }\sim \sqrt{\lambda D}$ (ici $d^{\ast }=\sqrt{2\lambda D}=0,47$ mm pour une boîte de 20 cm), qui fixe une résolution angulaire de l'ordre de $\sqrt{\lambda /D}$, quinze à vingt fois moins bonne que celle de l'œil.

Ce que le problème installe. Les deux limites du modèle — la propagation rectiligne et la diffraction — ne sont pas deux chapitres séparés : elles s'affrontent dans tout instrument, et leur compromis se calcule. La forme « un effet en $d$, un effet en $1/d$, optimum en racine du produit » reviendra pour la profondeur de champ et le diaphragme d'un appareil photographique (au-delà d'un certain nombre d'ouverture, la diffraction l'emporte sur la netteté gagnée). Et l'insuffisance chiffrée du sténopé est l'argument qui justifie toute la suite du cours : il faut des miroirs et des lentilles.