Quand une source est-elle ponctuelle ?

La stratégie. Le cours définit une source ponctuelle comme une source « de dimension négligeable ». Négligeable devant quoi ? Une source n'est jamais vue que par un détecteur, et ce que le détecteur perçoit d'une source étendue, c'est un angle. On compare donc systématiquement le diamètre apparent de la source au plus petit angle que le détecteur sait séparer.

1) Le diamètre apparent du Soleil. Un objet de diamètre $2R$ vu à la distance $d\gg R$ sous-tend l'angle $$\alpha =\frac{2R}{d}(\text{en radians, approximation des petits angles}).$$ Pour le Soleil vu de la Terre : $${\alpha }_{\odot }=\frac{2\times 6,96\times 10^8}{1,496\times 10^{11}}=9,30\times 10^{-3}\mathrm{rad}=0,533^{\circ }.$$ C'est environ trente et une fois la résolution de l'œil : le Soleil est vu comme un disque, et l'on ne peut pas le traiter comme ponctuel. On le savait : on voit son bord, et les ombres qu'il produit ont une pénombre (exercice 4).

2) Où le Soleil devient-il ponctuel ? Il faut $2R_{\odot }/d\le \epsilon$, soit $$d\ge \frac{2R_{\odot }}{\epsilon }=\frac{2\times 6,96\times 10^8}{3\times 10^{-4}}=4,6\times 10^{12}\mathrm{m}\approx 31\mathrm{UA}.$$ C'est l'orbite de Neptune. Vu de Neptune, le Soleil est, pour l'œil, une étoile très brillante — un point. Homogénéité : une longueur divisée par un angle sans dimension donne une longueur. Lecture : la même source est étendue d'ici, ponctuelle de là-bas ; « ponctuel » n'est pas une propriété de la source seule.

3) Sirius et Hubble. Le diamètre apparent de Sirius vaut $${\alpha }_S=\frac{2\times 1,71\times 6,96\times 10^8}{8,6\times 9,46\times 10^{15}}=2,9\times 10^{-8}\mathrm{rad},$$ soit environ $6$ millisecondes d'arc. La résolution de Hubble vaut $$\frac{\lambda }{D}=\frac{550\times 10^{-9}}{2,4}=2,3\times 10^{-7}\mathrm{rad},$$ huit fois plus grande que le diamètre apparent de Sirius. Sirius est ponctuelle même pour Hubble : le plus grand télescope spatial du vingtième siècle ne voit d'elle qu'une tache, dont la taille est fixée par l'instrument (la diffraction, voir le problème) et non par l'étoile. Toutes les étoiles, sauf une poignée de géantes proches, sont dans ce cas.

4) Pourquoi les étoiles scintillent. La turbulence de l'atmosphère dévie aléatoirement la lumière d'angles de l'ordre de la seconde d'arc, et fait fluctuer l'éclat reçu le long de chaque direction. Une étoile, de diamètre apparent mille fois plus petit que la seconde d'arc, envoie toute sa lumière le long d'un seul faisceau étroit : elle subit toutes les fluctuations, elle scintille. Jupiter, avec $47^{\prime \prime }$, couvre une quarantaine de secondes d'arc : son disque est la somme d'un grand nombre de points indépendants, dont les fluctuations se compensent en moyenne. Son éclat est stable. Le critère est le même qu'aux questions précédentes, avec un autre « détecteur » : la turbulence.

5) Monochromatique, à quel point ? Pour le doublet du sodium, $$\frac{\Delta \lambda }{\lambda }=\frac{0,6}{589,3}=1,0\times 10^{-3},$$ contre environ $400/600\approx 0,7$ pour une lampe blanche, soit sept cents fois plus. Un spectroscope de bas de gamme ne sépare pas les deux raies du doublet, et voit une lampe au sodium comme monochromatique ; un spectroscope à réseau les sépare sans peine.

Conclusion. Ponctuelle et monochromatique sont deux modèles au sens strict : une source est ponctuelle quand son diamètre apparent est inférieur à la résolution angulaire du détecteur, monochromatique quand la largeur de son spectre est inférieure à sa résolution spectrale. Le droit d'utiliser le modèle dépend du couple source-détecteur.

Ce que l'exercice installe. Un angle se compare à un angle : le diamètre apparent $2R/d$ et la résolution d'un instrument sont les deux grandeurs qu'on mettra face à face pour l'œil (pouvoir séparateur d'une minute d'arc, chapitre sur les instruments), pour l'appareil photographique et pour le sténopé du problème. Et un modèle se juge par une comparaison chiffrée, jamais par une impression.