Rømer et les éclipses de Io

La stratégie. Io est une horloge : elle « bat » toutes les $P_0$. Mais on ne lit cette horloge qu'à distance, avec un signal qui met un temps $d/c$ à arriver. Si la distance change entre deux battements, l'intervalle entre deux battements reçus n'est plus $P_0$. C'est l'exercice du cours sur la vitesse finie, mais traité comme un problème de signal : on écrit l'instant de réception.

1) Instants d'observation. La lumière de la $k$-ième éclipse part de Jupiter à $t_k$ et parcourt $d_k$ à la vitesse $c$ : $$t_k^{\prime }=t_k+\frac{d_k}{c}=t_0+k{P}_0+\frac{d_k}{c},P_k^{\prime }=t_k^{\prime }-t_{k-1}^{\prime }=P_0+\frac{d_k-d_{k-1}}{c}.$$ L'intervalle reçu diffère de l'intervalle émis par le temps que met la lumière à franchir le supplément de distance accumulé en une période.

2) La période apparente. Avec $d_k-d_{k-1}\approx v_r{P}_0$ : $$P_k^{\prime }\approx P_0+\frac{v_r{P}_0}{c}=P_0\left(1+\frac{v_r}{c}\right).$$ La période paraît plus longue quand la Terre s'éloigne ($v_r>0$), plus courte quand elle se rapproche. L'allongement est maximal quand la vitesse de la Terre est dirigée selon la ligne Terre-Jupiter, $v_r=v$ : $$\Delta P_{\max }=P_0\frac{v}{c}=1,769\times 86400\times \frac{2,98\times 10^4}{3,00\times 10^8}\approx 15\mathrm{s}.$$ Quinze secondes sur une période de quarante-deux heures, soit un effet relatif de $10^{-4}$ : les horloges à pendule de l'époque n'étaient pas assez stables pour le voir d'une éclipse à la suivante, et l'instant d'une éclipse, qui n'est pas brutale, ne se pointait qu'à quelques dizaines de secondes près. Homogénéité : $v/c$ est sans dimension, $\Delta P$ est une durée.

3) Le cumul ne dépend que des extrémités. Le retard de l'éclipse $N$ par rapport à une horloge régulière vaut $t_N^{\prime }-(t_0^{\prime }+N{P}_0)$, et par télescopage : $$\sum _{k=1}^N\left(P_k^{\prime }-P_0\right)=\sum _{k=1}^N\frac{d_k-d_{k-1}}{c}=\frac{d_N-d_0}{c}.$$ Tous les termes intermédiaires se compensent : seule compte la variation totale de distance, quel que soit le détail du mouvement. Entre l'opposition et la conjonction, la distance augmente d'un diamètre d'orbite terrestre, $2\mathrm{UA}$, et $$\Delta t_{\text{cumul}}=\frac{2\times 1,496\times 10^{11}}{3,00\times 10^8}\approx 998\mathrm{s}\approx 16,6\min .$$ Une centaine d'éclipses ont lieu pendant ces six mois ($182,6/1,769\approx 103$) ; chacune accumule un retard de quelques secondes, imperceptible, mais leur somme dépasse le quart d'heure. C'est le point clé du raisonnement de Rømer : un effet trop petit pour être vu sur une période devient énorme quand on le cumule.

4) L'estimation de $c$. Le retard cumulé est le temps de traversée du diamètre de l'orbite : $$c\approx \frac{3,0\times 10^{11}\mathrm{m}}{1000\mathrm{s}}=3,0\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Corrélativement, la lumière met environ $500$ s, un peu plus de huit minutes, à nous venir du Soleil.

5) La valeur historique. Avec 22 minutes, soit $1320$ s, pour $2\mathrm{UA}$ : $$c\approx \frac{2,99\times 10^{11}}{1320}\approx 2,3\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ trop faible d'un quart (Huygens disposait de plus d'une valeur de l'unité astronomique elle-même imprécise). L'erreur porte sur le chiffre, pas sur l'idée : pour la première fois, on établissait que la lumière ne se propage pas instantanément et que sa vitesse est mesurable par des observations astronomiques — ce que Descartes niait encore.

Ce que l'exercice installe. Lire une horloge lointaine, c'est recevoir un signal qui a un retard $d/c$ ; si ce retard change, la fréquence reçue change : $P^{\prime }=P_0(1+v_r/c)$ est la première rencontre avec l'effet Doppler, qu'on retrouvera en physique des ondes. Et le télescopage $\sum (d_k-d_{k-1})=d_N-d_0$ est la méthode qui transforme un effet indétectable en effet mesurable : on accumule.