Diaphragmer : aberrations, diffraction, pixel

La stratégie. Le stigmatisme approché est suffisant quand la tache image est plus petite que l'élément du détecteur. Deux causes de tache varient ici en sens contraire avec $N$ : on les chiffre, puis on minimise leur somme.

1) La tache de diffraction. $d_{\mathrm{diff}}=2,4\times 550\times 10^{-9}\times 8\approx 1,06\times 10^{-5}\mathrm{m}=10,6\mu \mathrm{m}$ à $N=8$ ; à $N=22$, $d_{\mathrm{diff}}\approx 29\mu \mathrm{m}$. Elle croît proportionnellement à $N$ : plus le diaphragme est petit, plus la lumière qui le traverse s'étale.

2) Le seuil de diffraction. La tache reste sous un photosite tant que $2,4\lambda N<p$, soit $$N<\frac{p}{2,4\lambda }=\frac{4,0\times 10^{-6}}{2,4\times 550\times 10^{-9}}\approx 3,0.$$ Au-delà, la diffraction seule étale l'image d'un point sur plus d'un photosite.

3) Pourquoi fermer réduit les aberrations. Fermer le diaphragme élimine les rayons qui traversent l'objectif loin de son axe ; les rayons restants sont plus proches de l'axe et moins inclinés : on se rapproche des conditions de Gauss, où le stigmatisme approché est meilleur. Le modèle $d_{\mathrm{ab}}\propto N^{-3}$ traduit le fait que le défaut croît très vite avec l'ouverture : doubler le diamètre du faisceau multiplie la tache d'aberration par huit.

4) L'optimum. La tache totale est $$d(N)=d_0\frac{N_0^3}{N^3}+2,4\lambda N.$$ Sa dérivée, $d^{\prime }(N)=-\frac{3d_0{N}_0^3}{N^4}+2,4\lambda$, est croissante en $N$, négative pour $N$ petit et positive pour $N$ grand : $d$ décroît puis croît, et son minimum est atteint quand $d^{\prime }(N)=0$, soit $$N^{\ast }={\left(\frac{3d_0{N}_0^3}{2,4\lambda }\right)}^{1/4}={\left(\frac{3\times 24\times 10^{-6}\times 8}{2,4\times 550\times 10^{-9}}\right)}^{1/4}=(436{)}^{1/4}\approx 4,6.$$ À cet optimum, $d_{\mathrm{diff}}=2,4\lambda N^{\ast }\approx 6,0\mu \mathrm{m}$ et $d_{\mathrm{ab}}=24\times (2/4,57{)}^3\approx 2,0\mu \mathrm{m}$, d'où une tache minimale $d_{\min }\approx 8,0\mu \mathrm{m}$.

Le rapport un tiers. La condition $d^{\prime }(N^{\ast })=0$ s'écrit $\frac{3d_0{N}_0^3}{N^{\ast 4}}=2,4\lambda$ ; multiplions par $N^{\ast }/3$ : $\frac{d_0{N}_0^3}{N^{\ast 3}}=\frac{2,4\lambda N^{\ast }}{3}$, c'est-à-dire $d_{\mathrm{ab}}=\frac{1}{3}{d}_{\mathrm{diff}}$. Le rapport ne dépend ni de $d_0$, ni de $\lambda$, ni de $N_0$ : il ne vient que des exposants, $-3$ et $+1$, du modèle. Lecture : à l'optimum, la diffraction pèse déjà trois fois plus que les aberrations ; on ferme tant que gagner sur les aberrations rapporte plus que ce que coûte la diffraction.

5) Qui limite ? La tache minimale, $8,0\mu \mathrm{m}$, couvre deux photosites de côté ($8,0/4,0=2$) : c'est l'objectif qui limite la netteté, pas le capteur ; des photosites plus petits n'apporteraient aucun détail supplémentaire. Avec des photosites de $1\mu \mathrm{m}$ (smartphone), la diffraction seule, même à $N\approx 1,8$, donne une tache de $2,4\times 0,55\times 1,8\approx 2,4\mu \mathrm{m}$ : les photosites suréchantillonnent une tache plus large qu'eux, sans résoudre plus de détails. Ordre de grandeur : les photographes savent que la netteté maximale est atteinte vers $N=4$ à $8$ ; on retrouve $4,6$.

Ce que l'exercice installe. Le critère du programme, stigmatisme suffisant si la tache est plus petite que l'élément du détecteur, appliqué avec des nombres ; et l'idée qu'une performance résulte souvent d'un compromis entre deux défauts de variations opposées, que l'on trouve en annulant une dérivée.