Le dièdre : une déviation qui ignore l'incidence

La stratégie. Plutôt que de suivre les angles d'incidence d'un miroir à l'autre, on regarde la réflexion comme une transformation des directions : chaque réflexion est une symétrie vectorielle, et la composée de deux symétries vectorielles est une rotation.

1) La composée de deux réflexions. Dans le plan perpendiculaire à l'arête, la direction d'un rayon est un vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$. La réflexion sur un miroir dont la trace fait l'angle ${\alpha }_1$ avec une direction fixe change $\overrightarrow{u}$ en son symétrique par rapport à la droite vectorielle d'angle ${\alpha }_1$ : si $\overrightarrow{u}$ fait l'angle $\psi$, ${\overrightarrow{u}}^{\prime }$ fait l'angle $2{\alpha }_1-\psi$. (C'est la loi de la réflexion : la composante parallèle au miroir est conservée, la composante normale est changée de signe.) Le second miroir, d'angle ${\alpha }_2={\alpha }_1+\theta$, change $2{\alpha }_1-\psi$ en $2{\alpha }_2-(2{\alpha }_1-\psi )=\psi +2\theta$.

Le vecteur directeur a donc tourné de $2\theta$ : l'angle entre le rayon émergent et le rayon incident vaut $2\theta$, quel que soit $\psi$, c'est-à-dire quelle que soit l'incidence. Selon qu'on mesure la déviation dans un sens ou dans l'autre, on la lit $2\theta$ ou $360^{\circ }-2\theta$ ; ce qui est indépendant de l'incidence, c'est l'angle de la rotation. Le point délicat : le résultat suppose que le rayon frappe effectivement les deux miroirs, dans cet ordre ; c'est une condition sur le domaine d'incidence, pas sur la déviation.

2) Deux cas remarquables. Pour $\theta =90^{\circ }$, la rotation vaut $180^{\circ }$ : le rayon émergent est antiparallèle au rayon incident, il repart dans la direction d'où il vient (décalé latéralement), quelle que soit l'incidence. Pour $\theta =45^{\circ }$, la rotation vaut $90^{\circ }$ : le rayon est dévié à angle droit quelle que soit l'incidence (équerre optique, pentaprisme).

3) Le sextant. L'observateur vise l'horizon directement à travers la partie non argentée du miroir fixe ; dans la partie argentée, il voit l'astre après deux réflexions, sur le miroir mobile puis sur le miroir fixe. Les deux images sont superposées quand la rotation $2\theta$ des directions amène le rayon venu de l'astre sur la direction de l'horizon : la hauteur de l'astre vaut alors $h=2\theta$, où $\theta$ est l'angle entre les deux miroirs (nul quand ils sont parallèles, ce qui définit le zéro). Le miroir mobile tourne donc de $h/2$ quand la hauteur varie de $h$ : un arc de $60^{\circ }$ couvre $120^{\circ }$ de hauteur, et la graduation est faite au double — c'est l'angle double du miroir tournant (un miroir tourné de $\alpha$ fait tourner le rayon réfléchi de $2\alpha$), appliqué cette fois à deux miroirs.

Le roulis fait tourner tout l'instrument, donc les deux miroirs ensemble : $\theta$ ne change pas, et la rotation $2\theta$ ne dépend pas de l'incidence (question 1). L'image de l'astre et l'horizon bougent ensemble dans le champ, et leur coïncidence n'est pas détruite.

4) Le coin de cube. Prenons les normales aux trois miroirs pour base orthonormée : ${\overrightarrow{n}}_1={\overrightarrow{e}}_x$, ${\overrightarrow{n}}_2={\overrightarrow{e}}_y$, ${\overrightarrow{n}}_3={\overrightarrow{e}}_z$, et écrivons $\overrightarrow{u}=u_x{\overrightarrow{e}}_x+u_y{\overrightarrow{e}}_y+u_z{\overrightarrow{e}}_z$. La réflexion sur le miroir de normale ${\overrightarrow{e}}_x$ donne $\overrightarrow{u}-2u_x{\overrightarrow{e}}_x$ : elle change le signe de la seule composante $u_x$. De même, les deux autres miroirs changent le signe de $u_y$, puis de $u_z$, sans toucher aux autres. Après les trois réflexions, dans n'importe quel ordre, les trois composantes ont changé de signe : $\overrightarrow{u}\to -\overrightarrow{u}$. Le rayon repart exactement dans la direction d'où il vient, quelle que soit l'orientation du coin de cube (pourvu que le rayon frappe les trois faces). C'est la version à trois dimensions du dièdre droit.

5) La télémétrie laser Terre-Lune. L'aller-retour dure

$$\begin{array}{rl}\tau & =\frac{2D}{c}\\ & =\frac{2\times 3,84\times 10^8}{3,00\times 10^8}\approx 2,56\mathrm{s}.\end{array}$$

Une erreur $\Delta D$ sur la distance correspond à une erreur $\Delta \tau =2\Delta D/c$ sur la durée : pour $\Delta D=1\mathrm{cm}$, $\Delta \tau =\frac{2\times 0,01}{3,00\times 10^8}\approx 6,7\times 10^{-11}\mathrm{s}$, soit $67\mathrm{ps}$. Un miroir plan ne renverrait le faisceau vers la Terre que s'il était perpendiculaire à la direction Terre-Lune à une fraction de seconde d'arc près, direction qui change en permanence ; le coin de cube renvoie la lumière vers sa source quelle que soit son orientation, sans aucun réglage.

Ce que l'exercice installe. Deux réflexions sur des miroirs sécants composent une rotation des directions, d'angle double de l'angle des miroirs : la déviation est indépendante de l'incidence, et un instrument qui l'exploite est insensible aux mouvements d'ensemble. La forme vectorielle de la loi de la réflexion, ${\overrightarrow{u}}^{\prime }=\overrightarrow{u}-2(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$, est l'outil qui rend le calcul immédiat en trois dimensions.