Le dioptre plan n'est pas stigmatique

La stratégie. On suit un rayon quelconque, on écrit où son prolongement coupe la verticale de l'objet, et l'on regarde si ce point dépend du rayon. S'il en dépend, il n'y a pas d'image unique : pas de stigmatisme. On cherche ensuite dans quelles conditions il en dépend peu : ce sont les conditions de Gauss, que l'on chiffre.

1) Le point de concours avec la verticale. Prenons l'origine à la verticale de $A$, sur la surface. Le rayon issu de $A$ sous l'angle $r$ atteint la surface à la distance horizontale $x=h\tan r$. Il en ressort sous l'angle $i$, avec $n\sin r=\sin i$ (loi de la réfraction, l'air ayant pour indice $1$). Prolongé vers le bas, le rayon émergent coupe la verticale de $A$ à la profondeur $h^{\prime }$ telle que $\tan i=x/h^{\prime }$. Donc $$h^{\prime }=\frac{h\tan r}{\tan i}.$$ Exprimons $\tan r$ en fonction de $i$ : $\sin r=\frac{\sin i}{n}$ et $\cos r=\sqrt{1-\frac{{\sin }^{2}i}{n^2}}=\frac{\sqrt{n^2-{\sin }^{2}i}}{n}$, d'où $\tan r=\frac{\sin i}{\sqrt{n^2-{\sin }^{2}i}}$. En divisant par $\tan i=\sin i/\cos i$ : $$h^{\prime }(i)=\frac{h\cos i}{\sqrt{n^2-{\sin }^{2}i}}.$$

2) Pas de stigmatisme. La fonction $h^{\prime }(i)$ est strictement décroissante sur $[0,\pi /2[$ : son numérateur décroît et son dénominateur croît. Deux rayons émergeant sous des angles différents coupent donc la verticale en des points différents : les rayons émergents issus de $A$ ne semblent pas venir d'un point unique. Le dioptre plan n'est pas rigoureusement stigmatique pour $A$. Il ne l'est que pour les points du dioptre lui-même ($h=0$ donne $h^{\prime }=0$ pour tout $i$ : un point de la surface est sa propre image), ce qui est sans intérêt pratique.

3) La limite paraxiale et sa validité. Quand $i\to 0$, $\cos i\to 1$ et $\sin i\to 0$ : $h^{\prime }\to \frac{h}{n}$. C'est la profondeur apparente du chapitre précédent : le fond semble à $h/n=0,75h$. Pour le développement, au second ordre en $i$ : $\cos i\approx 1-\frac{i^2}{2}$, et $$\frac{n}{\sqrt{n^2-{\sin }^{2}i}}={\left(1-\frac{{\sin }^{2}i}{n^2}\right)}^{-1/2}\approx 1+\frac{i^2}{2n^2}.$$ Le produit donne, en ne gardant que les termes d'ordre deux : $$\frac{h^{\prime }}{h/n}\approx \left(1-\frac{i^2}{2}\right)\left(1+\frac{i^2}{2n^2}\right)\approx 1-\frac{i^2}{2}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=1-\frac{n^2-1}{2n^2}{i}^2.$$ L'écart relatif reste sous $1\%$ tant que $\frac{n^2-1}{2n^2}{i}^2<0,01$, soit $i<\sqrt{\frac{0,02n^2}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{0,02\times 1,769}{0,769}}\approx 0,215\mathrm{rad}\approx 12^{\circ }$. La résolution exacte de $h^{\prime }/(h/n)=0,99$ donne $12,2^{\circ }$ : le développement est excellent jusque-là. Les conditions de Gauss, pour ce dioptre et cette tolérance, signifient : rayons émergents à moins de $12^{\circ }$ de la normale.

Cas limite. Pour $n\to 1$ (pas de dioptre), le coefficient $\frac{n^2-1}{2n^2}$ s'annule : plus de défaut, ce qui est cohérent.

4) Pourquoi l'œil voit net. Les rayons qui entrent dans la pupille sont contenus dans un cône très étroit. L'image apparente est à une profondeur de l'ordre de $h/n$ sous la surface, et l'œil à $50\mathrm{cm}$ au-dessus ; un rayon émergent qui atteint le bord de la pupille, à $2\mathrm{mm}$ de l'axe, fait donc avec la verticale un angle au plus égal à $$i_{\max }\approx \frac{2\times 10^{-3}}{0,50}=4\times 10^{-3}\mathrm{rad}$$ L'étalement relatif des $h^{\prime }$ vaut alors $$\frac{n^2-1}{2n^2}{i}_{\max }^2\approx 0,217\times 1,6\times 10^{-5}\approx 3\times 10^{-6}.$$ Pour $h=1\mathrm{m}$, la position de l'image est dispersée sur quelques micromètres : aucun œil ne le distingue. C'est la pupille qui sélectionne un pinceau paraxial. Le « détecteur » qui fixe le critère est l'œil : sa pupille limite l'ouverture du faisceau, sa rétine ne distingue pas deux points trop proches. Le dioptre n'est pas stigmatique, mais il l'est assez pour l'œil qui regarde dans l'axe.

Ce que l'exercice installe. La méthode qui définit le stigmatisme : suivre un rayon quelconque et regarder si le point image dépend du rayon. Et la lecture des conditions de Gauss comme une tolérance chiffrée : un développement limité au second ordre donne l'écart, et un instrument (ici l'œil) fixe ce qui est acceptable.