Le miroir argenté en face arrière

La stratégie. La glace est une succession de trois systèmes simples, chacun stigmatique dans les conditions de Gauss : on applique la méthode des conjugaisons successives, où l'image donnée par un système sert d'objet au suivant. On compte ensuite l'intensité de chaque chemin, puis on exploite le petit angle du prisme pour séparer deux réflexions.

1) Les trois conjugaisons. La relation du dioptre plan. Pour un point $A$ dans un milieu d'indice $n_1$, la lumière traversant un dioptre plan vers un milieu d'indice $n_2$, l'image paraxiale $A^{\prime }$ est sur la normale au dioptre passant par $A$, et en notant $H$ le pied de cette normale : $$\frac{\overline{H{A}^{\prime }}}{n_2}=\frac{\overline{HA}}{n_1}.$$ C'est la limite $i\to 0$ de l'exercice 4, où $n_1=n$, $n_2=1$ : $h^{\prime }=h/n$.

Orientons l'axe normal à la glace dans le sens de la lumière incidente, l'origine $S_1$ étant sur la face avant ; la face argentée est en $S_2$, avec $\overline{S_1{S}_2}=e$. L'objet est en $A$, avec $\overline{S_{1}A}=-d$.

Première conjugaison (air vers verre, $n_1=1$, $n_2=n$) : $\overline{S_1{A}_1}=n\overline{S_{1}A}=-nd$.

Deuxième conjugaison (miroir plan en $S_2$) : $A_2$ est le symétrique de $A_1$ par rapport à la face arrière. $A_1$ est à la distance $e+nd$ devant $S_2$ ; $A_2$ est à la même distance derrière : $\overline{S_1{A}_2}=e+(e+nd)=2e+nd$.

Troisième conjugaison (verre vers air, la lumière revenant vers l'avant, $n_1=n$, $n_2=1$) : $\overline{S_1{A}^{\prime }}=\frac{\overline{S_1{A}_2}}{n}=d+\frac{2e}{n}$.

$A^{\prime }$ est à la distance $d+2e/n$ derrière la face avant. Vérification : pour $e=0$, on retrouve le miroir plan nu, image à $d$ derrière.

2) Le miroir équivalent. Un miroir plan donne de $A$ une image symétrique : le miroir est dans le plan médiateur de $[A{A}^{\prime }]$. Ici $A$ est à $d$ devant $S_1$ et $A^{\prime }$ à $d+2e/n$ derrière ; le milieu est à $$\frac{\left(d+\frac{2e}{n}\right)-d}{2}=\frac{e}{n}$$ derrière la face avant, indépendamment de $d$. Tous les objets ont donc leur image donnée par un même miroir plan fictif, à $e/n=3,3\mathrm{mm}$ derrière la face avant. La conclusion repose sur la relation du dioptre plan, qui n'est valable que pour des rayons paraxiaux (exercice 4) : vue très obliquement, l'image d'un point est légèrement étalée.

3) Intensités et fantôme. $R_0={\left(\frac{0,5}{2,5}\right)}^2=0,04$ : la face avant réfléchit $4\%$ et transmet $96\%$. L'image principale a traversé deux fois la face avant et s'est réfléchie une fois sur l'argenture : $$0,96\times 0,95\times 0,96\approx 0,88.$$ La face avant, seule, donne une image directe de $A$, comme un miroir plan nu situé en $S_1$ : à la distance $d$ derrière la face avant, d'intensité relative $0,04$. Elle est en avant de l'image principale de $2e/n\approx 6,7\mathrm{mm}$. C'est l'image fantôme, $22$ fois moins lumineuse : on la voit en approchant la pointe d'un crayon de la glace (deux pointes, une vive et une pâle).

4) Le rétroviseur jour/nuit. Le rayon arrive normalement sur la face avant : la partie réfléchie par la face avant repart exactement en arrière. La partie transmise entre sans être déviée (incidence normale) et atteint la face arrière, inclinée de $\beta$ par rapport à la face avant : elle y arrive avec un angle d'incidence $\beta$. Elle se réfléchit avec un angle de réflexion $\beta$ : sa direction fait l'angle $2\beta$ avec la direction de retour. Elle revient sur la face avant, qu'elle frappe donc sous l'incidence $2\beta$ (dans le verre), et en ressort sous l'angle $i$ tel que $\sin i=n\sin 2\beta$ : $$i=\arcsin (n\sin 2\beta )=\arcsin (1,5\times \sin 8^{\circ })\approx 12,05^{\circ },$$ tandis que l'approximation des petits angles donne $2n\beta =12^{\circ }$.

Le fonctionnement. En position « jour », le faisceau réfléchi par l'argenture arrive dans l'œil (intensité $0,88$) et celui de la face avant part $12^{\circ }$ à côté. En position « nuit », on bascule le rétroviseur d'un petit angle : c'est le faisceau de la face avant qui arrive dans l'œil (intensité $0,04$), et les phares de la voiture qui suit sont atténués d'un facteur $\frac{0,88}{0,04}\approx 22$ : assez pour ne plus éblouir, pas assez pour les faire disparaître. Les deux faisceaux sont séparés angulairement bien plus que l'ouverture de la pupille vue du rétroviseur : on voit l'un ou l'autre, jamais les deux.

Ce que l'exercice installe. La méthode des conjugaisons successives : chaque image sert d'objet au système suivant, ce qui ramène un système composé à une suite de systèmes simples. Une lame de verre déplace l'image apparente de $e(1-1/n)$, résultat que l'on réutilisera pour toute lame traversée. Et un instrument peut exploiter la séparation angulaire de deux faisceaux plutôt que leur intensité.