Pourquoi le fond de la piscine se relève

La stratégie. L'œil reçoit un pinceau étroit de rayons et localise l'objet là où les rayons de ce pinceau semblent se croiser. On calcule donc l'intersection de deux prolongements infiniment voisins, et non celle d'un prolongement avec une droite choisie à l'avance, comme la verticale de $A$ qui définit $h^{\prime }$.

1) L'intersection de deux rayons voisins. Avec les notations de l'énoncé, $x(i)=h\tan r=\frac{h\sin i}{\sqrt{n^2-{\sin }^{2}i}}$. Le rayon émergent sort au point $(x(i),0)$ et monte en faisant l'angle $i$ avec la verticale ; son prolongement vers le bas est la droite des points d'abscisse $X=x(i)-y\tan i$, à la profondeur $y$. Deux rayons voisins, sous $i$ et $i+\mathrm{d}i$, se coupent au point où

$$x(i)-y\tan i=x(i+\mathrm{d}i)-y\tan (i+\mathrm{d}i),$$

soit, en divisant par $\mathrm{d}i$ et en faisant tendre $\mathrm{d}i$ vers zéro, $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}i}=y\frac{\mathrm{d}(\tan i)}{\mathrm{d}i}=\frac{y}{{\cos }^{2}i}$. La profondeur cherchée est donc $h_t={\cos }^{2}i\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}i}$.

Calculons la dérivée. Posons $u=\sin i$, de dérivée $\cos i$ :

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}i}& =h\cos i\frac{\sqrt{n^2-u^2}+\frac{u^2}{\sqrt{n^2-u^2}}}{n^2-u^2}\\ & =h\cos i\frac{(n^2-u^2)+u^2}{(n^2-u^2{)}^{3/2}}\\ & =\frac{n^{2}h\cos i}{(n^2-{\sin }^{2}i{)}^{3/2}}.\end{array}$$

En multipliant par ${\cos }^{2}i$ :

$$h_t(i)=\frac{n^{2}h{\cos }^{3}i}{(n^2-{\sin }^{2}i{)}^{3/2}}.$$

2) Le cas paraxial et deux images. Pour $i\to 0$, $h_t\to \frac{n^{2}h}{n^3}=\frac{h}{n}$ : en vision verticale, les deux calculs donnent la profondeur apparente $h/n$. En oblique, avec $n=1,33$ : à $30^{\circ }$ : $h^{\prime }=0,703h$ et $h_t=0,614h$ ; à $60^{\circ }$ : $h^{\prime }=0,495h$ et $h_t=0,215h$.

Les deux valeurs se séparent quand l'angle croît. Interprétation : le pinceau qui entre dans l'œil est un cône étroit à trois dimensions. Les rayons voisins situés dans le plan vertical contenant $A$ et l'œil se croisent à la profondeur $h_t$ ; ceux qui en sont décalés latéralement se croisent, par symétrie de révolution autour de la verticale de $A$, sur cette verticale, à la profondeur $h^{\prime }$. Un même pinceau converge donc vers deux lignes distinctes et non vers un point (on nomme ce défaut astigmatisme) : on est sorti des conditions de Gauss, et l'image vue de biais à travers l'eau paraît floue et déformée.

3) Le fond qui remonte. Le nageur voit les points du fond de plus en plus loin sous des angles d'émergence de plus en plus grands. Or $h_t(i)$ décroît fortement avec $i$ : $0,75h$ à la verticale, $0,61h$ à $30^{\circ }$, $0,21h$ à $60^{\circ }$, et elle tend vers zéro quand l'émergence devient rasante. Le fond lointain semble donc presque affleurer la surface ; le fond, plat en réalité, paraît incurvé vers le haut avec la distance, et le bassin paraît moins profond qu'il n'est, surtout au loin. C'est une cause classique de noyade d'enfants qui croient avoir pied. Ordre de grandeur : pour un bassin de $2\mathrm{m}$, le fond vu à $60^{\circ }$ semble à $43\mathrm{cm}$ sous la surface.

4) Vérification numérique. Le script suivant calcule le concours de deux rayons voisins (écart $10^{-4}\mathrm{rad}$) et le compare aux deux formules.

import numpy as np

n, h = 1.33, 1.0         # indice ; profondeur prise pour unité
def xs(i):               # abscisse de sortie du rayon d'angle i
    return h * np.sin(i) / np.sqrt(n**2 - np.sin(i)**2)

di = 1e-4                # deux rayons voisins : i et i + di
for deg in (0.5, 15, 30, 45, 60, 70):
    i = np.radians(deg)
    # intersection des prolongements X = xs(i) - y tan(i)
    y = (xs(i + di) - xs(i)) / (np.tan(i + di) - np.tan(i))
    ht = n**2 * h * np.cos(i)**3 / (n**2 - np.sin(i)**2)**1.5
    hp = h * np.cos(i) / np.sqrt(n**2 - np.sin(i)**2)
    print(f"i={deg:4.1f} concours={y:.3f} h_t={ht:.3f} h'={hp:.3f}")

Résultat obtenu en l'exécutant :

i= 0.5 concours=0.752 h_t=0.752 h'=0.752
i=15.0 concours=0.718 h_t=0.718 h'=0.740
i=30.0 concours=0.614 h_t=0.614 h'=0.703
i=45.0 concours=0.437 h_t=0.438 h'=0.628
i=60.0 concours=0.215 h_t=0.215 h'=0.495
i=70.0 concours=0.085 h_t=0.085 h'=0.363

Le concours calculé coïncide avec $h_t$ (l'écart sur le troisième chiffre à $45^{\circ }$ vient de l'écart fini $\mathrm{d}i$) et s'écarte nettement de $h^{\prime }$ dès $15^{\circ }$. L'enveloppe de ces droites est une caustique, ligne où la lumière se concentre.

Ce que l'exercice installe. Ce qu'un œil ou un capteur localise est le point de concours d'un pinceau étroit, que l'on obtient en dérivant par rapport au paramètre du rayon ; hors des conditions de Gauss, ce point dépend de la direction d'observation, et même un pinceau étroit ne converge plus en un point. La profondeur apparente $h/n$ n'est qu'un cas limite, celui de la vision verticale.