Se voir en entier, voir derrière soi

La stratégie. Un point $P$ est vu dans le miroir si un rayon issu de $P$ s'y réfléchit et atteint l'œil ; la symétrie traduit cette condition en une condition géométrique simple, d'abord pour le miroir mural, puis en général (question 4).

1) La hauteur utile vaut $H/2$. Pour que l'œil $E$ voie le sommet du crâne $S$, il faut un rayon $S\to I\to E$ qui se réfléchit sur le miroir en $I$. Par le stigmatisme du miroir, le rayon réfléchi $IE$ semble venir de $S^{\prime }$, symétrique de $S$ : $I$ est le point où la droite $(S^{\prime }E)$ traverse le miroir. Le miroir est vertical, à la distance $x$ de la personne ; $S^{\prime }$ est à la distance $x$ derrière le miroir, à la même hauteur que $S$, et $E$ à la distance $x$ devant. Le point $I$ est donc le milieu du segment $[S^{\prime }E]$, au moins pour sa hauteur : il est à mi-hauteur entre $S$ et $E$. De même, le rayon venu des pieds $P$ se réfléchit en $J$, milieu en hauteur de $P$ et $E$. La portion de miroir utile est le segment vertical $[J,I]$, de hauteur $$h_I-h_J=\frac{h_S+h_E}{2}-\frac{h_P+h_E}{2}=\frac{h_S-h_P}{2}=\frac{H}{2}.$$ Les points intermédiaires du corps se réfléchissent entre $J$ et $I$ ; un miroir qui contient $[J,I]$ suffit, et un miroir plus court en coupe une partie. La hauteur minimale est $H/2=0,85\mathrm{m}$.

2) Les bords. Bord supérieur à la hauteur de $I$ : $\frac{1,70+1,60}{2}=1,65\mathrm{m}$. Bord inférieur à la hauteur de $J$ : $\frac{0+1,60}{2}=0,80\mathrm{m}$. La différence redonne bien $0,85\mathrm{m}$.

3) Indépendance de la distance. Les hauteurs de $I$ et $J$ sont des moyennes de hauteurs qui ne font pas intervenir $x$ : ni la taille ni la position du miroir ne dépendent de la distance.

4) Le cône de vision. Soit $P$ un point quelconque devant le miroir. Un rayon issu de $P$ qui atteint $E$ après réflexion en $I$ est, après réflexion, porté par la droite $(P^{\prime }I)$, où $P^{\prime }$ est le symétrique de $P$ ; il faut donc que $I$ soit sur le segment $[P^{\prime }E]$ et sur le miroir. Appliquons la symétrie au segment $[P^{\prime }E]$ : elle le transforme en $[P{E}^{\prime }]$, où $E^{\prime }$ est l'image de l'œil, et elle laisse fixe tout point du miroir. Donc $P$ est visible si et seulement si le segment $[P{E}^{\prime }]$ traverse le miroir (c'est-à-dire la portion réfléchissante, de contour donné). L'ensemble des points visibles est la partie, située devant le miroir, du cône de sommet $E^{\prime }$ qui s'appuie sur le contour du miroir.

Retour au miroir mural : le plan du miroir est toujours à mi-chemin entre la personne et $E^{\prime }$ ; les segments de $E^{\prime }$ au crâne et aux pieds le traversent aux hauteurs moyennes $1,65\mathrm{m}$ et $0,80\mathrm{m}$, quel que soit $x$.

5) Le champ du rétroviseur. Dans le plan horizontal, le cône de vision a pour sommet $E^{\prime }$, à la distance $a$ derrière le miroir, et s'appuie sur les deux bords, distants de $L$. Son demi-angle au sommet vérifie $\tan \frac{\beta }{2}=\frac{L/2}{a}$, d'où $$\beta =2\arctan \frac{L}{2a}=2\arctan \frac{0,05}{0,50}\approx 11,4^{\circ }.$$ À la distance $D$ du miroir, côté route, on est à $a+D$ du sommet $E^{\prime }$ ; par Thalès, la largeur visible vaut $$\ell =L\frac{a+D}{a}=0,10\times \frac{20,5}{0,50}=4,1\mathrm{m}.$$ Homogénéité : $\ell$ est une longueur fois un rapport de longueurs. Cas limite : $D=0$ redonne $\ell =L$, le miroir lui-même.

6) Approcher l'œil, bomber le miroir. Diminuer $a$ augmente $\beta$, mais $a$ est imposée par le poste de conduite. Pour élargir le champ sans agrandir le miroir, les rétroviseurs extérieurs sont bombés : la normale tourne d'un point à l'autre du miroir, ce qui ouvre l'éventail des directions renvoyées vers l'œil ; la contrepartie est une image réduite, qui fait paraître les véhicules plus loin qu'ils ne sont.

Ce que l'exercice installe. Une méthode qui reviendra pour tout instrument : ce qu'on voit à travers un système est délimité par le cône issu de l'image de l'œil et s'appuyant sur le bord du système (on parlera plus tard de champ et de diaphragme de champ). Et le résultat contre-intuitif, $H/2$ quelle que soit la distance, n'est qu'une affaire de milieux.