Cône d'acceptance d'une fibre à saut d'indice

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les lois de Snell-Descartes et la condition de réflexion totale du chapitre 2 : à une interface d'un milieu d'indice $n_1$ vers un milieu d'indice $n_2<n_1$, la réflexion est totale si l'angle d'incidence $i$ vérifie $\sin i\ge n_2/n_1$. La stratégie : enchaîner la réfraction d'entrée et la réflexion totale, en reliant les deux angles par la géométrie du cœur.

1) La condition de guidage. Dans un plan contenant l'axe, le rayon réfracté fait l'angle $r$ avec l'axe ; la paroi du cœur est parallèle à l'axe, donc sa normale est perpendiculaire à l'axe. L'angle d'incidence sur la paroi est le complémentaire : $i=90^{\circ }-r$. Réflexion totale : $$\sin i\ge \frac{n_2}{n_1}⟺\sin (90^{\circ }-r)\ge \frac{n_2}{n_1}⟺\cos r\ge \frac{n_2}{n_1}.$$ Après réflexion, le rayon repart sous le même angle $r$ avec l'axe et frappe la paroi opposée sous la même incidence : la condition, vérifiée une fois, l'est à toutes les réflexions. Le rayon zigzague jusqu'à la sortie sans rien perdre — si la condition échoue, il perd une fraction de sa puissance dans la gaine à chaque rebond, des milliers de fois par mètre, et disparaît.

2) Le cône d'acceptance. La condition $\cos r\ge n_2/n_1$ définit $r\le r_{\max }$, avec $\cos r_{\max }=n_2/n_1$ et donc $$\sin r_{\max }=\sqrt{1-\frac{n_2^2}{n_1^2}}=\frac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_1}.$$ À l'entrée, Snell-Descartes donne $n_0\sin \theta =n_1\sin r$ ; la fonction $\theta \mapsto r$ est croissante, donc $r\le r_{\max }$ équivaut à $\theta \le {\theta }_a$, avec $$n_0\sin {\theta }_a=n_1\sin r_{\max }=\sqrt{n_1^2-n_2^2}=\mathrm{ON}.$$ Par symétrie de révolution autour de l'axe, les rayons guidés remplissent un cône de demi-angle ${\theta }_a$. (On n'a traité que les rayons qui coupent l'axe ; les rayons « gauches » ne changent pas l'ordre de grandeur.)

Approximation. $n_1^2-n_2^2=(n_1-n_2)(n_1+n_2)\approx 2n_1(n_1-n_2)$ quand $n_2$ est voisin de $n_1$, d'où $\mathrm{ON}\approx \sqrt{2n_1(n_1-n_2)}$ : l'ouverture numérique varie comme la racine de l'écart d'indice.

3) Applications numériques. $$\mathrm{ON}=\sqrt{2,25-2,1904}=\sqrt{0,0596}=0,244,{\theta }_a=\arcsin (0,244)=14,1^{\circ }.$$ L'approximation donne $\sqrt{2\times 1,50\times 0,02}=0,245$, à $0,3\%$ près. Dans le cœur, $\sin r_{\max }=0,244/1,50$, $r_{\max }=9,4^{\circ }$ ; l'angle limite cœur-gaine vaut $\arcsin (1,48/1,50)=80,6^{\circ }$, et l'on vérifie $90^{\circ }-9,4^{\circ }=80,6^{\circ }$. Les rayons guidés sont presque parallèles à l'axe et frappent la paroi en incidence quasi rasante.

4) Dans l'eau. $\sin {\theta }_a=0,244/1,33=0,184$, ${\theta }_a=10,6^{\circ }$. Le cône se referme. Ce qui est caractéristique de la fibre, c'est la quantité $n_0\sin {\theta }_a$ et non l'angle ${\theta }_a$ lui-même : l'invariant de Snell-Descartes.

5) Le barreau nu. La formule donne $\sqrt{1,50^2-1}=1,12>1$ : l'équation $\sin {\theta }_a=1,12$ n'a pas de solution, ce qui signifie que la condition est remplie pour tout $\theta$. Vérification directe : même en incidence rasante ($\theta =90^{\circ }$), $\sin r=1/1,50$, $r=41,8^{\circ }$ ; l'incidence sur la paroi vaut $90^{\circ }-41,8^{\circ }=48,2^{\circ }$, supérieure à l'angle limite verre-air, $41,8^{\circ }$. Tout rayon entré est guidé : c'est le principe des guides de lumière décoratifs et du jet d'eau lumineux. Dans l'eau ($n_2=1,33$), $\mathrm{ON}=\sqrt{2,25-1,77}=0,69$ et $\sin {\theta }_a=0,69/1,33$, ${\theta }_a=31^{\circ }$ : le guidage n'est plus total. Une fibre réelle a une gaine pour protéger l'interface : une trace de doigt ($n\approx 1,5$) sur un barreau nu y détruirait la réflexion totale.

6) La sortie. D'après le principe de retour inverse de la lumière, un rayon guidé arrive sur la face de sortie sous un angle $r\le r_{\max }$ avec l'axe et ressort sous $\theta \le {\theta }_a$. La lumière sort dans le même cône que celui d'acceptance, de demi-angle $14,1^{\circ }$ dans l'air.

Cas limite. $n_2\to n_1$ : $\mathrm{ON}\to 0$, le cône se ferme — sans saut d'indice, pas de guidage.

Ce que l'exercice installe. L'établissement du cône d'acceptance (capacité exigible) : réfraction d'entrée, complémentarité des angles dans le cœur, réflexion totale ; et l'invariant $n_0\sin {\theta }_a=\sqrt{n_1^2-n_2^2}$. Une ouverture numérique supérieure à $1$ signifie que tout rayon est guidé. Ordre de grandeur : $\mathrm{ON}\approx 0,2$, une quinzaine de degrés, pour quelques centièmes d'écart d'indice.