Construire la profondeur de champ ; distance hyperfocale

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La méthode de construction de la profondeur de champ du cours, le théorème de Thalès dans les triangles semblables, la relation de Descartes. La stratégie : la construction donne une formule exacte pour la tache ; Descartes la réécrit en proximités, où tout devient linéaire ; la distance hyperfocale en sort sans aucune approximation.

1) La construction de la tache. On trace l'axe, la lentille avec son diaphragme de diamètre $D$, et le capteur à la distance $p^{\prime }$.

• Le point de mise au point. De $A_0$, on trace les deux rayons qui s'appuient sur les bords du diaphragme ; après la lentille, ils convergent en $A_0^{\prime }$, sur le capteur : point net.
• Un point plus lointain $A$ ($d>d_0$). Son image $A^{\prime }$ est plus proche de la lentille que le capteur (l'image d'un objet qui s'éloigne se rapproche de $F^{\prime }$). Les deux rayons extrêmes, issus des bords du diaphragme, convergent en $A^{\prime }$, avant le capteur, puis divergent et découpent sur le capteur un segment : la tache.
• Un point plus proche ($d<d_0$). Son image est au-delà du capteur ; le cône, intercepté avant d'avoir convergé, découpe aussi une tache.

Le calcul. Dans les deux cas, le cône lumineux a pour sommet $A^{\prime }$ et pour base le diaphragme, de diamètre $D$, à la distance $\overline{O{A}^{\prime }}$ du sommet. Le capteur le coupe à la distance $|\overline{O{A}^{\prime }}-p^{\prime }|$ du sommet. Par Thalès (triangles semblables de même sommet $A^{\prime }$) : $$\frac{\delta }{D}=\frac{\left|\overline{O{A}^{\prime }}-p^{\prime }\right|}{\overline{O{A}^{\prime }}},\delta =D\frac{\left|\overline{O{A}^{\prime }}-p^{\prime }\right|}{\overline{O{A}^{\prime }}}.$$ C'est la figure du cours : $P_1^{\prime }$ avant le capteur, $P_2^{\prime }$ après, et deux taches de même diamètre $c$ aux deux limites.

2) La forme en proximités. On écrit $\delta =D{p}^{\prime }\left|\frac{1}{p^{\prime }}-\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}\right|$. La relation de Descartes, avec $\overline{OA}=-d$, donne $\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}=\frac{1}{f^{\prime }}-\frac{1}{d}$, et de même $\frac{1}{p^{\prime }}=\frac{1}{f^{\prime }}-\frac{1}{d_0}$. Le terme $1/f^{\prime }$ s'élimine dans la différence : $$\delta =D{p}^{\prime }\left|\left(\frac{1}{f^{\prime }}-\frac{1}{d_0}\right)-\left(\frac{1}{f^{\prime }}-\frac{1}{d}\right)\right|=D{p}^{\prime }\left|\frac{1}{d}-\frac{1}{d_0}\right|.$$ La condition $\delta \le c$ s'écrit donc $$\left|\frac{1}{d}-\frac{1}{d_0}\right|\le \frac{c}{D{p}^{\prime }}.$$ La plage de netteté est un intervalle de proximités centré sur $1/d_0$, de demi-largeur $\epsilon =\frac{c}{D{p}^{\prime }}$. Aucune approximation n'a été faite (au-delà des conditions de Gauss). En distances, la plage n'est pas symétrique : elle s'étend plus loin derrière le sujet que devant, parce que $1/d$ est une fonction décroissante et convexe.

Homogénéité. $c/(D{p}^{\prime })$ est l'inverse d'une longueur ($c$ et $D$ sont deux longueurs, $p^{\prime }$ une troisième), comme $1/d$.

3) La distance hyperfocale. La limite lointaine est l'infini si la borne inférieure de proximité est nulle : $\frac{1}{d_0}=\frac{c}{D{p}^{\prime }}$. On remplace $\frac{1}{p^{\prime }}=\frac{1}{f^{\prime }}-\frac{1}{d_0}$ : $$\frac{1}{d_0}=\frac{c}{D}\left(\frac{1}{f^{\prime }}-\frac{1}{d_0}\right)⟺\frac{1}{d_0}\left(1+\frac{c}{D}\right)=\frac{c}{D{f}^{\prime }}⟺d_0=\frac{f^{\prime }(D+c)}{c}=\frac{f^{\prime }D}{c}+f^{\prime }.$$ Avec $D=f^{\prime }/N$, cette distance de mise au point est $$H=f^{\prime }+\frac{f^{\prime 2}}{Nc}.$$ La limite proche a pour proximité $\frac{1}{d_0}+\epsilon =\frac{2}{H}$ : tout est net de $H/2$ à l'infini, exactement — ce que le cours admettait.

Applications numériques. $\frac{f^{\prime 2}}{Nc}=\frac{(50{)}^2}{8\times 0,030}=10417\mathrm{mm}$, donc $$H=50+10417=10467\mathrm{mm}=10,47\mathrm{m},\frac{H}{2}=5,23\mathrm{m}.$$ La formule approchée $f^{\prime 2}/(Nc)=10,42\mathrm{m}$ ne diffère que de $f^{\prime }=5\mathrm{cm}$, soit $0,5\%$ : le terme $f^{\prime }$ est négligeable dès que $Nc\ll f^{\prime }$, ce qui est toujours le cas ($Nc=0,24\mathrm{mm}$ contre $50\mathrm{mm}$). Mais seule la forme exacte rend vraie la propriété « net de $H/2$ à l'infini ».

4) Infini contre hyperfocale. Mise au point sur l'infini : $1/d_0=0$ et $p^{\prime }=f^{\prime }$, la plage de proximités est $[0;c/(D{f}^{\prime })]=[0;Nc/f^{\prime 2}]$ ; tout est net de $f^{\prime 2}/(Nc)=10,4\mathrm{m}$ à l'infini. Mise au point sur $H$ : de $5,2\mathrm{m}$ à l'infini. On gagne la moitié de la distance en ne visant pas l'infini : la moitié de la plage de proximités était gaspillée « au-delà de l'infini ». Fermer le diaphragme (grand $N$) diminue $H$ : à $N=16$, $H=5,26\mathrm{m}$, net dès $2,6\mathrm{m}$ ; à $N=2$, $H=41,7\mathrm{m}$. C'est la règle du paysagiste : diaphragme fermé, mise au point sur l'hyperfocale.

5) Le portrait. Pour $d_0=3\mathrm{m}$, $p^{\prime }=1/(1/f^{\prime }-1/d_0)$ et $\epsilon =c/(D{p}^{\prime })$ ; la plage est $\left[\frac{1}{1/d_0+\epsilon };\frac{1}{1/d_0-\epsilon }\right]$.

Premier réglage : $D=25\mathrm{mm}$, $\epsilon =\frac{0,030}{25\times 50,85}\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{-1}=0,0236{\mathrm{m}}^{-1}$, et $1/d\in [0,3097;0,3569]{\mathrm{m}}^{-1}$.

Lecture. Pour un sujet lointain ($p^{\prime }\approx f^{\prime }$), $\epsilon \approx \frac{Nc}{f^{\prime 2}}$ : la profondeur de champ (en proximités) est proportionnelle à $N$ et inversement proportionnelle à $f^{\prime 2}$. Passer de $N=2$ à $N=8$ la multiplie par $4$ ; doubler la focale la divise par $4$. Le portraitiste ouvre le diaphragme et prend une longue focale : à $100\mathrm{mm}$ et $N=2$, la zone nette ne fait que dix centimètres, le visage est net et le fond se fond dans le flou. Le paysagiste fait l'inverse.

6) Le smartphone. $$H=4,25+\frac{4,25^2}{1,8\times 0,005}=4,25+2007=2011\mathrm{mm}\approx 2,0\mathrm{m}.$$ Mis au point sur deux mètres, un smartphone ouvert à $1,8$ voit net d'un mètre à l'infini. C'est l'effet du $f^{\prime 2}$ : la focale réelle est douze fois plus courte que celle du plein format, et le cercle de confusion n'est que six fois plus petit. Voilà pourquoi un téléphone a du mal à produire un vrai flou d'arrière-plan — qu'il simule par logiciel — et pourquoi les premiers téléphones pouvaient se passer de mise au point (le tirage, qui varie comme $f^{\prime 2}$, n'y dépasse pas quelques micromètres).

Ce que l'exercice installe. La construction géométrique de la profondeur de champ (capacité exigible), conduite jusqu'au calcul par Thalès. Puis, une fois de plus, le passage aux proximités : la plage nette est un intervalle de demi-largeur $c/(D{p}^{\prime })\approx Nc/f^{\prime 2}$, d'où l'influence du diaphragme ($\propto N$) et de la focale ($\propto 1/f^{\prime 2}$), et la distance hyperfocale exacte $H=f^{\prime }+f^{\prime 2}/(Nc)$, avec la netteté de $H/2$ à l'infini.