Corriger un œil : myope, presbyte

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La relation de conjugaison de Descartes pour la lentille de correction, puis la condition de vision nette de l'exercice 1 pour l'œil : c'est une association de deux lentilles minces traitée par deux conjugaisons successives (l'image donnée par la première est l'objet de la seconde). La stratégie : tout traduire en proximités, où la correction devient une simple translation.

1) La plage du myope. Proximités extrêmes : $1/D_{PR}=1/0,50=2,0\delta$ et $1/D_{PP}=1/0,12=8,33\delta$. Il voit net les objets dont la proximité est dans $[2,0\delta ;8,33\delta ]$, et son amplitude vaut $A=8,33-2,0=6,33\delta$. Son PP, à $12\mathrm{cm}$, est plus proche que celui de l'œil normal ($25\mathrm{cm}$) : il lit sans peine à dix centimètres. Sa plage est décalée vers les grandes proximités, pas rétrécie : c'est de loin qu'il est gêné.

2) La lentille translate la plage. Pour la lentille de correction, de centre $O$, la relation de Descartes s'écrit $$\frac{1}{\overline{O{A}_1}}-\frac{1}{\overline{OA}}=V_c.$$ Avec $\overline{OA}=-D_A$ et $\overline{O{A}_1}=-D_{A_1}$ (l'image intermédiaire est du côté de l'objet, virtuelle pour la lentille, et c'est un objet réel pour l'œil), cela donne $$-\frac{1}{D_{A_1}}+\frac{1}{D_A}=V_c,\text{soit}\frac{1}{D_{A_1}}=\frac{1}{D_A}-V_c.$$ L'œil voit net $A_1$ si et seulement si $\frac{1}{D_{PR}}\le \frac{1}{D_{A_1}}\le \frac{1}{D_{PP}}$, c'est-à-dire $$\frac{1}{D_{PR}}+V_c\le \frac{1}{D_A}\le \frac{1}{D_{PP}}+V_c.$$ La plage corrigée est la plage d'origine translatée de $V_c$ ; sa largeur, l'amplitude $A$, est inchangée. Aucune lentille ne rend à l'œil de l'accommodation : elle ne fait que déplacer la fenêtre.

3) La correction du myope. On veut que l'infini (proximité nulle) soit le nouveau PR : $\frac{1}{D_{PR}}+V_c=0$, donc $$V_c=-\frac{1}{D_{PR}}=-2,0\delta ,$$ une lentille divergente de focale $f_c^{\prime }=-50\mathrm{cm}$.

La construction, pas à pas. Un objet à l'infini sur l'axe envoie un faisceau parallèle à l'axe. La lentille divergente le fait diverger comme s'il provenait de son foyer image $F_c^{\prime }$, situé devant elle, à $50\mathrm{cm}$ : on trace un rayon incident parallèle à l'axe, il émerge en semblant issu de $F_c^{\prime }$ (son prolongement, en tirets, passe par $F_c^{\prime }$). L'image intermédiaire de l'infini est donc $F_c^{\prime }$. Pour que l'œil la voie net sans accommoder, il faut qu'elle soit au PR : le foyer image du verre doit être au punctum remotum. C'est la figure du cours (verre divergent, prolongements des rayons concourant au PR).

Le PP corrigé. La borne supérieure devient $8,33-2,0=6,33\delta$, soit $D=1/6,33=15,8\mathrm{cm}$. Corrigé, le myope voit net de $15,8\mathrm{cm}$ à l'infini : il a perdu un peu de vision de près, ce qui ne le gêne pas.

4) Des lunettes à deux centimètres. Le raisonnement du 3) garde son sens géométrique : l'image de l'infini par le verre est son foyer image, et elle doit tomber au PR de l'œil. Le verre est à $2\mathrm{cm}$ devant l'œil et le PR à $50\mathrm{cm}$ devant l'œil : le foyer image du verre doit être à $48\mathrm{cm}$ devant le verre, $f^{\prime }=-0,48\mathrm{m}$, soit $$V=\frac{1}{-0,48}=-2,08\delta .$$ La différence avec la lentille de contact ($-2,0\delta$) est négligeable pour une myopie faible. Pour un myope fort, PR à $10\mathrm{cm}$ : lentille de contact $V_c=-10\delta$, lunettes $f^{\prime }=-8\mathrm{cm}$, $V=-12,5\delta$ — un écart de $2,5\delta$ : l'opticien ne prescrit pas la même vergence pour des lunettes et pour des lentilles.

5) La presbytie. Amplitude $1\delta$, PR à l'infini (proximité $0$) : la plage est $[0;1\delta ]$, le PP est à $1/1=1\mathrm{m}$. Un texte à $25\mathrm{cm}$ a la proximité $4\delta$, hors de la plage : il manque $3\delta$, d'où des verres de $+3\delta$. Avec eux, la plage devient $[3\delta ;4\delta ]$ : $$D\in \left[\frac{1}{4};\frac{1}{3}\right]\mathrm{m}=[25\mathrm{cm};33\mathrm{cm}].$$ Le presbyte corrigé lit net à $25\mathrm{cm}$, mais seulement entre $25$ et $33\mathrm{cm}$ : il ne voit plus net ni l'écran à $60\mathrm{cm}$, ni le fond de la pièce. Une seule vergence ne peut pas convenir, puisque la plage ne fait qu'une dioptrie de large. D'où les verres progressifs, dont la vergence varie continûment du haut (vision de loin, $0\delta$) vers le bas (lecture, $+3\delta$) : on choisit la translation en baissant les yeux.

Cas limite. $V_c=0$ : la plage est inchangée, comme il se doit.

Ce que l'exercice installe. Une lentille de correction translate la plage d'accommodation en proximités, sans l'élargir. Deux règles en découlent : pour la myopie, le foyer image du verre au punctum remotum (construction à connaître) ; pour la presbytie, une addition qui déplace une plage trop étroite, d'où les verres progressifs. Et l'on retient que deux lentilles successives se traitent par deux conjugaisons successives, l'image de la première servant d'objet à la seconde.