Fibre courbée : rayon de courbure minimal

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La condition de réflexion totale, la loi de la réflexion, et de la géométrie plane : la distance d'un point à une droite, la symétrie d'un cercle par rapport à un diamètre. La stratégie : caractériser chaque rayon par sa distance au centre $C$, qui se conserve à la réflexion sur un cercle de centre $C$.

1) La première incidence. La figure. On trace le centre $C$, les deux cercles de rayons $R-a$ et $R+a$, et la section d'entrée de la partie courbe, qui est un segment d'un rayon du cercle (la partie droite se raccorde tangentiellement à l'arc). À l'entrée, le rayon lumineux est parallèle à l'axe de la partie droite, donc perpendiculaire à ce segment, en un point situé à la distance $\rho$ de $C$. Il continue en ligne droite dans le cœur, s'écarte de $C$, et rencontre la paroi extérieure en un point $M$, avec $CM=R+a$.

Le calcul. La droite portée par le rayon est perpendiculaire en un point situé à la distance $\rho$ de $C$ au segment issu de $C$ : la distance de $C$ à cette droite vaut $\rho$. Au point $M$, la normale à la paroi est le rayon $CM$ du cercle. Dans le triangle rectangle formé par $C$, $M$ et le pied $K$ de la perpendiculaire issue de $C$, l'angle en $M$ est l'angle d'incidence $i$ (entre le rayon lumineux et la normale $MC$), et

$$\sin i=\frac{CK}{CM}=\frac{\rho }{R+a}.$$

2) La même incidence à chaque réflexion. La loi de la réflexion dit que le rayon réfléchi est le symétrique du rayon incident par rapport à la normale $CM$. Cette symétrie conserve les distances à $C$ (qui est sur l'axe de symétrie) : la droite portée par le rayon réfléchi est encore à la distance $\rho$ de $C$. Le rayon réfléchi est une corde du cercle extérieur, à la distance $\rho$ du centre ; il frappe de nouveau ce cercle sous l'incidence $i$ telle que $\sin i=\rho /(R+a)$ — la même. Et comme toute la droite reste à une distance au moins $\rho \ge R-a$ du centre, elle n'entre jamais à l'intérieur du cercle de rayon $R-a$ : le rayon ne touche pas la paroi intérieure, il rebondit de corde en corde le long de la paroi extérieure (c'est le principe de la « galerie des murmures »). La condition de guidage, la même à chaque réflexion, se lit donc sur la première.

3) Le rayon le plus défavorisé. Guidage si $\sin i\ge n_2/n_1$, soit

$$\rho \ge {\rho }_{\lim }=(R+a)\frac{n_2}{n_1}.$$

Plus $\rho$ est petit, plus l'incidence est faible : le rayon le plus défavorisé est celui qui longe la paroi intérieure, $\rho =R-a$. Tous les rayons sont guidés si et seulement si celui-là l'est :

$$R-a\ge (R+a)\frac{n_2}{n_1}⟺R(n_1-n_2)\ge a(n_1+n_2)⟺R\ge a\frac{n_1+n_2}{n_1-n_2}=R_{\min }.$$

Application numérique :

$$\begin{array}{rl}{R}_{\min }& =50\mu \mathrm{m}\times \frac{2,98}{0,02}\\ & =7,45\times 10^3\mu \mathrm{m}\\ & =7,45\mathrm{mm}.\end{array}$$

Homogénéité. $R_{\min }$ est une longueur, $a$ fois un rapport d'indices sans dimension.

4) Les pertes sous le seuil. Pour $R=5\mathrm{mm}$ :

$${\rho }_{\lim }=5,05\times \frac{1,48}{1,50}=4,983\mathrm{mm}.$$

Les rayons qui entrent entre $\rho =R-a=4,950\mathrm{mm}$ et ${\rho }_{\lim }=4,983\mathrm{mm}$ sont perdus : une bande de $33\mu \mathrm{m}$ sur les $100\mu \mathrm{m}$ de largeur du cœur, soit un tiers ($33\%$). Un enroulement serré autour d'un crayon éteint largement la fibre : ce sont les pertes par courbure, qu'on observe en tordant une fibre éclairée (la lumière s'échappe au coude).

5) Cas limites et compromis. Si $n_2\to n_1$, $R_{\min }\to \infty$ : sans contraste d'indice, la moindre courbure fait fuir la lumière. Si $a\to 0$, $R_{\min }\to 0$ : un cœur infiniment fin suit toutes les courbures (en optique géométrique ; un cœur de quelques micromètres sort en réalité du domaine de l'optique géométrique). Fibre de télécommunication :

$$\begin{array}{rl}{R}_{\min }& =25\times \frac{2,919}{0,005}\\ & =1,46\times 10^4\mu \mathrm{m}\\ & =14,6\mathrm{mm}.\end{array}$$

Plus grand malgré un cœur deux fois plus fin, parce que l'écart d'indice est quatre fois plus petit. D'où le compromis : un grand écart $n_1-n_2$ rend la fibre tolérante aux courbures et augmente l'ouverture numérique $\mathrm{ON}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}$ — mais il augmente aussi la dispersion intermodale (l'étalement des impulsions, qui limite le débit).

Ce que l'exercice installe. Un problème de guidage se ramène à la plus petite incidence sur la paroi, et la géométrie fournit l'invariant qui la calcule (ici la distance au centre d'un rayon réfléchi sur un cercle). Le résultat $R_{\min }=a(n_1+n_2)/(n_1-n_2)$ quantifie la règle pratique « ne jamais plier une fibre sous quelques centimètres ».