Ce que mesure un capteur : moyenne, battements, pixels

La stratégie. Tout repose sur un calcul de moyenne : un terme oscillant à la pulsation $\Omega$ a une moyenne de l'ordre de $1/(\Omega {\tau }_R)$ sur une durée ${\tau }_R$, donc négligeable si $\Omega {\tau }_R\gg 1$. On l'applique aux pulsations $2\omega$, puis $|{\omega }_1-{\omega }_2|$.

1) La moyenne sur ${\tau }_R$. Avec ${\cos }^{2}u=\frac{1}{2}(1+\cos 2u)$ : $$\frac{1}{{\tau }_R}{\int }_0^{{\tau }_R}{a}^2{\cos }^2(\omega t-\phi )\mathrm{d}t=\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4\omega {\tau }_R}[\sin (2\omega {\tau }_R-2\phi )+\sin 2\phi ].$$ Le crochet est compris entre $-2$ et $2$ : l'écart à $a^2/2$ est borné par $a^2/(2\omega {\tau }_R)$. Pour ${\lambda }_0=633\mathrm{nm}$, $\omega =2\pi c/{\lambda }_0\approx 3,0\times 10^{15}\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, et pour ${\tau }_R=1\mathrm{ns}$, $$\frac{1}{2\omega {\tau }_R}\approx 1,7\times 10^{-7}:$$ même la photodiode la plus rapide moyenne parfaitement, à un dix-millionième près. De même, $\cos (\omega t)\cos (\omega t+\psi )=\frac{1}{2}[\cos \psi +\cos (2\omega t+\psi )]$ : le second terme oscille à $2\omega$ et sa moyenne est du même ordre négligeable, d'où $⟨\cos (\omega t)\cos (\omega t+\psi )⟩=\frac{1}{2}\cos \psi$.

2) Deux fréquences. En développant le carré, $$s^2=a_1^2{\cos }^2({\omega }_{1}t)+a_2^2{\cos }^2({\omega }_{2}t+\psi )+a_1{a}_2\left[\cos \right(({\omega }_1+{\omega }_2)t+\psi )+\cos (({\omega }_2-{\omega }_1)t+\psi \left)\right].$$ Les deux premiers termes ont pour moyennes $a_1^2/2$ et $a_2^2/2$, le terme à ${\omega }_1+{\omega }_2$ une moyenne nulle. Il reste le terme de battement, à la pulsation $\Delta \omega =|{\omega }_2-{\omega }_1|$ : $$I=2⟨s^2⟩=a_1^2+a_2^2+2a_1{a}_2⟨\cos (\Delta \omega t+\psi )⟩.$$

• Si $\Delta \omega {\tau }_R\gg 1$, cette moyenne est de l'ordre de $1/(\Delta \omega {\tau }_R)$, négligeable : $I=I_1+I_2$. Les intensités s'additionnent : c'est l'additivité des intensités de deux ondes de fréquences différentes.
• Si $\Delta \omega {\tau }_R\ll 1$, le cosinus ne varie pas pendant ${\tau }_R$ : le détecteur le suit, et le signal oscille, $I(t)=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos (\Delta \omega t+\psi )$, à la fréquence $|{\nu }_1-{\nu }_2|$. Ce sont des battements.

Entre les deux, les battements sont atténués : leur amplitude est multipliée par un facteur de valeur absolue inférieure à $1$, qui tend vers $1$ quand $\Delta \omega {\tau }_R\to 0$. Pour la moyenne glissante du détecteur, $\frac{1}{{\tau }_R}{\int }_t^{t+{\tau }_R}\cos (\Delta \omega t^{\prime }+\psi )\mathrm{d}{t}^{\prime }=\frac{\sin (\Delta \omega {\tau }_R/2)}{\Delta \omega {\tau }_R/2}\cos (\Delta \omega (t+{\tau }_R/2)+\psi )$ : ce facteur vaut $\frac{\sin (\Delta \omega {\tau }_R/2)}{\Delta \omega {\tau }_R/2}$. Cas limite : la frontière est $2\pi |\Delta \nu |{\tau }_R\sim 1$.

3) Trois situations. a) Doublet du sodium : $\Delta \nu =\frac{c}{589,0\mathrm{nm}}-\frac{c}{589,6\mathrm{nm}}\approx 5,2\times 10^{11}\mathrm{Hz}$, période de battement $1,9\mathrm{ps}$. Aucun récepteur ne suit : les intensités des deux raies s'additionnent toujours. b) Deux lasers à $100\mathrm{MHz}$ l'un de l'autre sur la photodiode : $\Delta \omega {\tau }_R=2\pi \times 10^8\times 10^{-9}\approx 0,63$, et la période de battement, $10\mathrm{ns}$, est dix fois le temps de réponse : la photodiode voit les battements, à peine atténués (facteur $0,98$). C'est la détection hétérodyne. c) L'œil ($\Delta \omega {\tau }_R\approx 6\times 10^7$) additionne les intensités.

4) Le capteur photographique. L'intensité reçue est $I=P/S=1,0\times 10^{-3}/1,0\times 10^{-4}=10\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}$. Un pixel, de surface $(5,0\times 10^{-6}{)}^2=2,5\times 10^{-11}{\mathrm{m}}^2$, reçoit $2,5\times 10^{-10}\mathrm{W}$, soit pendant la pose une énergie $2,5\times 10^{-12}\mathrm{J}$. Un photon porte $hc/{\lambda }_0=6,63\times 10^{-34}\times 3,00\times 10^8/633\times 10^{-9}\approx 3,1\times 10^{-19}\mathrm{J}$. D'où $$N_{\mathrm{ph}}=\frac{2,5\times 10^{-12}}{3,1\times 10^{-19}}\approx 8,0\times 10^6\text{photons},N_e\approx 4,0\times 10^6\text{eˊlectrons},$$ deux cents fois la capacité du pixel : l'image est blanche, saturée. Il faut diviser la puissance par $200$ : $D={\log }_{10}200\approx 2,3$, par exemple un filtre de densité $2$ suivi d'un filtre de densité $0,3$ ; ou raccourcir la pose à $50\mu \mathrm{s}$. Le pixel mesure l'énergie reçue pendant la pose, son temps d'intégration : on n'envoie jamais un laser directement sur une caméra.

Ce que l'exercice installe. Un détecteur mesure $⟨s^2⟩$ sur son temps de réponse : tout terme oscillant à une pulsation $\Omega$ avec $\Omega {\tau }_R\gg 1$ disparaît. Deux ondes de fréquences différentes donnent une intensité somme des intensités dès que $|\Delta \nu |{\tau }_R\gg 1$ : c'est l'additivité des intensités, qui reviendra pour toutes les sources incohérentes. Un capteur photographique compte des photons pendant sa pose : un pixel sature vite, et l'on chiffre l'atténuation nécessaire.